Intégrale (1-x^2)^n

hoose · 21/11/2008 - 21h22

Bonjour,
voici le problème sur lequel je planche depuis un moment :

$I_n =\int\limits_{-1}^1 (1-x^2)^n\, \mathrm dx$
Il est demandé de Montrer que $I_n =\frac{2n}{2n+1}I_n$

Voici ce que j'ia fait :
1) changement de variable posons x = cos(t)
Nous obtenons $I_n =\int\limits_{cos(-1)}^cos(1) (1-cos(t)^2)^n\, \mathrm dt$

2) propriétés trigonométrique sin^2(x) + cos^2(x) = 1
Nous obtenons $I_n =\int\limits_{cos(-1)}^cos(1) (sin(t)^2)^n\, \mathrm dt$

Nous obtenons $I_n =\int\limits_{cos(-1)}^cos(1) (sin(t)^{2n}\, \mathrm dt$

Nous obtenons $I_n =\int\limits_{cos(-1)}^cos(1) (sin(t)^{(2n-1)} sin(t) \, \mathrm dt$

En intégrant par partie cela donne
$(2n-1)sin(t)^{2n-1}cos(t)+(2n-1)\int\limits_{cos(-1)}^cos(1) (sin(t)^{(2n-2)} (1-sin(t)^2) \, \mathrm dt$
=
$(2n-1)sin(t)^{2n-1}cos(t)+(2n-1)\int\limits_{cos(-1)}^cos(1) sin(t)^{2n-2} - sin^{2n} \, \mathrm dt$

Mais que faire ensuite. Merci pour votre aide.

Thorin · 21/11/2008 - 21h32

Ton changement de variable est faux.
En fait, si ton changement de variable était correct, alors, si au lieu d'aller de -1 à 1, ton intégrale allait de -pi/2 à pi/2, ton intégrale serait nulle...ce qui serait embêtant...car clairement, c'est faux.

hoose · 21/11/2008 - 21h42

Rectification de la donnée

$I_n =\int\limits_{-1}^1 (1-x^2)^n\, \mathrm dx$
Il est demandé de Montrer que $I_n =\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}$

Fathertom · 21/11/2008 - 21h48

si tu fait le changement de variable x=cos(t), le dx devient -sin(t)dt.

hoose · 21/11/2008 - 22h26

Je comprend mais je ne sais pas quoi faire d'autre

Celestion · 21/11/2008 - 22h38

$(1-x^2)^n$ est paire.
Mais je te conseille d'essayer une intégration par partie.

prgasp77 · 22/11/2008 - 15h35

Bonjour,
pourquoi intégrer par partie ou faire un changement de variable ? $n$ étant fini, $(1-x^2)^n$ est un polynome (facilement intégrable).

$(1-x^2)^n\ =\ \sum_{k=0}^n (-1)^k C_n^k x^{2(n-k)}$
$\Longrightarrow\ \Bigint_{-1}^1 (1-x^2)^n dx\ =\ \sum_{k=0}^n\ (-1)^k C_n^k\ \left( \Bigint_{-1}^1 x^{2(n-k)}dx \right)$

La suite laissée au lecteur.

nabil1235789 · 22/11/2008 - 22h10

bonsoir Hoose
tu as bien commencer par ton changement de variable ( x = sint)mais il faut faire attention aux bornes ça changent aussi de (-pi/2) a (pi/2) egalement le diferenciel ( dx = cost dt) en faisant ces rectifications tu aura (In = integrale de : (cost)a la puissance 2n fois cost dt enfin tu appliquera une integration par partie en posant : u' = cost alors u = sint et v = (cost)a la puissance 2n alors v' = ..... le reste est evident
PS n'oublier pas de remplacer sin au carre par 1 - cos au carre
j'espere que ton pb soit resolu
a bien tot j'espére

hoose · 23/11/2008 - 14h35

Bonjour je ne comprend pas vraiment comment vous arrivez à
$\int_{-pi/2}^{pi/2} cos(t)^{2n}cos(t)\, \mathrm dt$

Merci pour votre aide

God's Breath · 23/11/2008 - 14h45

prgasp77 · 23/11/2008 - 18h33

Envoyé par God's Breath

$I_{n-1} - I_n = \int_{-1}^1 (1-x^2)^{n-1}[1-(1-x^2)] \,dx = \int_{-1}^1 [x(1-x^2)^{n-1}].x \,dx = \left[ -\frac1{2n}(1-x^2)^nx \right]_{-1}^1 + \int_{-1}^1 \frac1{2n}(1-x^2)^n\,dx = \frac1{2n}I_n$

Voila !! C'est comme ça qu'il faut faire (si c'est un exercice noté, rédige un peu plus le calcul de primitive tout de même), changements de variables et ipp inutiles.

nabil1235789 · 24/11/2008 - 16h11

prgasp77 · 24/11/2008 - 19h28

La beauté d'une démonstration est dans sa simplicité ... et là c'est moche

nabil1235789 · 24/11/2008 - 22h05

bonsoir
en effet tu as raison et j'accepte sportivement ta crétique mais je ne metrise pas bien l'ecriture des formules avec le PC

Thorin · 25/11/2008 - 17h57

Envoyé par prgasp77

La beauté d'une démonstration est dans sa simplicité ... et là c'est moche

Et la simplicité, tu la mesures comment ?

Intégrale (1-x^2)^n

Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Re : Intégrale (1-x^2)^n

Sur le même sujet

Discussions similaires

intégrale

expression d'une intégrale en termes d'une intégrale elliptique

intégrale

intégrale

intégrale mathématique vs intégrale physique