Transformée de Fourier de sinc

[invite9893342d]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème en maths.. Je dois calculer la transformée de Fourier de la fonction x(t) = sinc (t) dans L2(R).

Bon alors j'ai essayé en posant xn = x(t) * 1[-n, n] avec 1[-n, n] la fonction qui vaut 1 sur l'intervalle -n, n et 0 sur le reste de l'intervalle, et xn tend vers x quand n tend vers +infini..

Le probleme c'est que je pars surement pas bien ! J'ai essayé de remplacer le sinus par l'exponentielle mais au final j'ai une integrale de exponentielle (t) / t..

Comment faut-il partir pour calculer cette TF ? A part remplacer par l'exponentielle je vois pas.. Et si c'est ce qu'il faut faire, comment avancer après ?

Merci à tous de votre aide
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[Karym77]

Hello,

Je te propose déja d'écrire l'intégrale de fourier correspondante.

Ensuite, tu pourrais effectuer un changement de variable en posant par exemple que : u=-t

-> Tu vas obtenir une intégrale en u

Ensuite il te restera à remarquer que tu as l'expression d'une transformée de Fourier inverse du sinus cardinal....

A toi de conclure...

A+++

[invite9893342d]

Karym merci déja ! Je vais reprendre ca tranquillement chez moi ce soir au calme ^^ Mais j'avoue que j'avais pensé à passer par la TF inverse mais j'avais pas pensé a ton changement de variable ! Donc en gros integrer directement n'est pas possible ?

En tout cas j'ai une autre question (et oui.. lol) j'ai essayé de faire une autre question, qui était de montrer que sinc appartient à L2(R) et donc de prouver que l'integrale entre -infini et +infini de sinc2(t) est finie.. Et j'arrive pas à integrer le sinus carré divisé par t carré..

Merci beaucoup de votre aide

[God's Breath]

En tout cas j'ai une autre question (et oui.. lol) j'ai essayé de faire une autre question, qui était de montrer que sinc appartient à L2(R) et donc de prouver que l'integrale entre -infini et +infini de sinc2(t) est finie.. Et j'arrive pas à integrer le sinus carré divisé par t carré..

La fonction est continue sur , positive, et on a la majoration qui devrait permettre de conclure quant à l'appartenance du sinus cardinal à .

Pour la question de la transformée de Fourier, je vais prendre un chemin détourné : quelle est, pour , la transformée de Fourier de la fonction ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9893342d]

Pour moi la majoration me donne inferieure à zero... Sachant que c'est positif je trouve l'integrale nulle alors que j'ai vu sur internet qu'on devait prouver que cette integrale était egale à 1 ! Parce que l'integrale de 1/x2 est -1/x et ca pris en +infini et -infini je trouve 0...


Et pour la transformée de fourier je savais "betement" que la TF de sinc était la fonction rectangle mais je ne savais pas le demontrer.. je vais essayer avec le changement de variable !

Et encore merci !

[God's Breath]

La majoration que je te propose sert à prouver l'intégrabilité de , pas à calculer l'intégrale, parce n'est pas intégrable sur !!! Il y a un petit problème en 0.

Si tu sais prouver que la transformée de Fourier d'une fonction rectangle est un sinus cardinal, tu calcules la transformée de Fourier du sinus cardinal par la formule d'inversion. Parce que le calcul direct de l'intégrale, je n'y crois pas trop.

[invite9893342d]

Ok je vais essayé avec la formule d'inversion mais ca me fait pas calculer une TF inverse ?
Je commence à m'embrouiller peut etre un peu..

Et donc j'ai vu une betise sur internet qui disait que l'integrale de sinc2(t) valait 1 ?

Et pour montrer que sinc(t) n'appartient pas à L1(R) est-ce qu'il faut partir avec la même methode ?

Je te remercie en tout cas, tu m'aides beaucoup là !!

[invite9893342d]

Bon je rereviens... Je trouve votre démonstration correcte pour montrer que la TF de sinc est rect de largeur 1 mais... je pense pas que mon prof veuille ce genre de démonstration ! En fait, d'après lui, le début de démonstration est :
soit x(t) = sinc(t)
TF(x)(v) = lim (n tend vers +inf) de l'integrale (-n, n) de sinc(t)exp(i2*pi*v*t)dt

Il a l'air de dire que c'est calculable.. En cherchant sur le forum j'ai vu rapidement quelqu'un qui disait qu'en remplacant la sinus par sa formule en exponentielle, on pouvait s'en sortir.. Mais bon moi je retrouve toujours mon fameux : exp(t) / t lol

enfin bref ca commence à serieusement m'enerver j'ai l'impression de ne rien reussir à faire...