Soit n>4
Soit H un sous-groupe de Sn d'indice n.
Montrer que H est isomorphe à S(n-1).
Je fais opérer Sn sur Sn/H par conjugaison.
On obtient un morphisme f:Sn-> Bij(Sn/H) (Qui est isomorphe à Sn)
J'arrive à montrer que f est un isomorphisme, mais ensuite je sais plus quoi trop quoi faire. Je penser étudier f(H), mais je bloque.
Soit je suis partis dans une mauvaise direction, soit je suis bloqué...
Je vais encore cherché, mais si quelqu'un pouvais me guider, ca m'aiderais. Merci à vous.
A vue de nez il faut effectivement regarder l'action de H sur S_n/H. Tu devrais voir sans difficulté que l'un des éléments est fixé par H (donc H inclus dans S_n-1). Apres faut verifier que toute bijection de S_n/H dans lui meme qui fixe le dit point peut se voir comme l'action d'un element de H. Je ne suis pas sur de moi, mais ca devrait ressembler a ta preuve que f est un isomorphisme, je pense.
En faite j'ai trouvé :
n>4
On fait opérer Sn sur Sn/H par tranlation, cad qu'a (s,classe(t)) --> s.classe(t)=classe(st)
On pose f: Sn -> Bij(Sn/H)
s -> ( t -> s.classe(t))
On remarque que Ker(f)=id (car le seuls groupe ditingué de Sn sont id An et Sn)
Donc f est un isomorphime de groupe
Or on remarque que H stabilise classe(id), cad que H.classe(id)=classe(id), donc f(H) permute tout le éléments de Sn/H sauf classe(id), donc f(H) est isomorphe à S(n-1), et f est un isomorphisme donc H est isomorphe à f(H) et par transitivité H à S(n-1).
Voila merci pour votre aide.
