Questions sur les fonctions et les suites

[inviteac71397d]

Bonjour ,

J'ai quelques questions sur les fonctions et les suites.

Merci en avance


Q1 : Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse(donner un contre exemple, citer un résultat du cours ou faire une courte démonstration)

a)si une suite converge,alors toutes les suites extraites convergent vers la même limite

b)si d'une suite (U_n)_{n appartient a N} on peut extraire deux suites convergent vers la même limite,la suite(U_n)_n est convergente.

c)Pour tout y on a tan(arctan(y))=y

d)Pour tout x on a arctan(tan(x))=x

e)soit f une fonction définie sur l'intervalle [a;+infini[, a appartient a R, si f admet une limite finie en +infini ,alors f est monotone sur [a;+infini[

f)La fonction f définie sur R* par f(x)= sin(1/x)n'a pas de limite en 0

Q2:Étudier la dérivabilité de f(x)=2+3x/3+x


Q3:fonction f:[01[tend vers R continue sur [0,1[telle que f(0)=0 et lim f(x)=+infini (quand x tend vers 1^-)
Donner un exemple explicite d'une fonction f vérifiant ces hypothèses et donner l'allure graphique .
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[invite7ffe9b6a]

Bonjour qu'as-tu fait jusqu'à présent?

[inviteac71397d]

a mon avis les réponses dans l'ordre pour la question 1 sont:

a)non
b)oui
c)oui
d)non
e)non
f)non

Q2:il faut utiliser f(x)-f(a)/x-a
ça me donne : (ce qui n'est pas juste)
lim(qd x tend vers a) (7x-7a)/(9x+3x²+ax²-9a-3a²-a²x)
je trouve pas c'est quoi mon problème!

Q3: ça doit être ln de quel que chose.
Ce qui me permet pas d'avancer c'est f(0)=0 (d'après l'énonce) car ln 0 ca n'existe pas !!!!!!
si on avait f(1)=0 je pouvais dire ln 1 = 0. c'est ca que je comprend pas

[invitebe0cd90e]

Tu es sensé justifier, non ?

Tu es sur pour a) et b) ? Pour le a), vers quoi peuvent converger les suites extraites a part la limite ? Pour le b), que se passe t il si tu prends 3 suites convergentes dont 2 ont la meme limite et la 3e une limite differente, et que tu les "mixes" pour construire une suite ?

Pour f), si tu reponds non c'est que tu penses que cette fonction a une limite... Tu as essayé de la calculer pour voir si c'etait vraiment le cas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteac71397d]

pour f)on sait que -1<sin (x)<1 ===> -1<sin (1/x)<1 non?

[invitebe0cd90e]

pour f)on sait que -1<sin (x)<1 ===> -1<sin (1/x)<1 non?

Euh, oui, ca revient a dire 2 fois que la fonction sinus est a valeur dans [-1,1], donc ca ne dit pas grand chose de nouveau, et ca ne permet surtout pas de conclure sur l'existence ou non d'une limite !

[inviteac71397d]

et a mon avis pourb
c'est vrai car on sait que toute suite bornee reelle admet une sous suite qui converge et pour le a je sais pas comment je peux l'expliquer mais je sens que ca doit pas etre juste parceque si une suite converege les autre suites ils sont pas obliger de converger vers la meme limite.

[Fildomen]

et a mon avis pourb
c'est vrai car on sait que toute suite bornee reelle admet une sous suite qui converge et pour le a je sais pas comment je peux l'expliquer mais je sens que ca doit pas etre juste parceque si une suite converege les autre suites ils sont pas obliger de converger vers la meme limite.

pour a) , imagine que U converge vers un point dans le plan, les suites extraites suivent le meme trajet que U sauf qu'elles sautent qlq points ! il serait difficile d'imaginer qu'elles convergent vers un autre point quand meme ( sauf si U ne converge pas comme (-1)^n)

[inviteac71397d]

Euh, oui, ca revient a dire 2 fois que la fonction sinus est a valeur dans [-1,1], donc ca ne dit pas grand chose de nouveau, et ca ne permet surtout pas de conclure sur l'existence ou non d'une limite !

alors il faut faire le changement de variable?

[invitebe0cd90e]

et a mon avis pourb
c'est vrai car on sait que toute suite bornee reelle admet une sous suite qui converge et pour le a je sais pas comment je peux l'expliquer mais je sens que ca doit pas etre juste parceque si une suite converege les autre suites ils sont pas obliger de converger vers la meme limite.

Relis bien mon message !

Pour le b, c'est le contraire qu'on te demande ! Effectivement toute suite bornée admet une sous suite convergente, mais ca ne veut pas dire que la reciproque est vraie ! Relis mon premier message et essaie ce que je suggere.

Pour la a), la encore je me repete : vers quoi peuvent converger les sous suites ? Ou autrement dit : si tu as 2 sous suites qui convergent vers 2 limites differentes, comment la suite peut elle converger ? Le mieux qui puisse arriver est que la suite zigzague entre les 2 limites, non ?

[invitebe0cd90e]

alors il faut faire le changement de variable?

Un (tres gros) indice : la fonction sinus a t elle une limite en ?

[inviteac71397d]

Un (tres gros) indice : la fonction sinus a t elle une limite en ?

quand x tend vers 0⁺ la fonction a une limite droite qui est +infini et donc son sinus ça fait 1 et qd x tend vers 0^-la fonction a une limite gauche qui est -infini et donc son sinus ça fait -1
limite gauche n'est pas égale au limite droite donc x n'a pas de limite en 0

[invitebe0cd90e]

quand x->0⁺ la fonction a une limite droite qui est +infini et donc son sinus ça fait 1 et qd x-> 0^-la fonction a une limite gauche qui est -infini et donc son sinus ça fait -1
limite gauche n'est pas égale au limite droite donc x n'a pas de limite en 0

Tu es vraiment sur que la fonction sinus a une limite en + infini ? Elle serait pas un peu periodique, donc un peu divergente, par hasard ?

[inviteac71397d]

Tu es vraiment sur que la fonction sinus a une limite en + infini ? Elle serait pas un peu periodique, donc un peu divergente, par hasard ?

non pas trop , ça vous dérange pas de me l'expliquer ?

[invitebe0cd90e]

C'est assez simple, en fait, dire qu'une fonction converge vers une limite, ca revient a dire qu'elle se "rapproche" de plus en plus d'une certaine valeur.

Or, tu vois bien que la fonction sinus, "aussi loin que tu regardes" vers l'infini, passera toujours eriodiquement en 1, puis en -1, et ainsi de suite, donc elle ne se "stabilise" jamais autour d'une valeur !

[inviteac71397d]

C'est assez simple, en fait, dire qu'une fonction converge vers une limite, ca revient a dire qu'elle se "rapproche" de plus en plus d'une certaine valeur.

Or, tu vois bien que la fonction sinus, "aussi loin que tu regardes" vers l'infini, passera toujours eriodiquement en 1, puis en -1, et ainsi de suite, donc elle ne se "stabilise" jamais autour d'une valeur !

ok j'ai compris Merci beaucoup

[inviteac71397d]

Vous pouvez m'aider pour les questions 2 et 3 s'il vous plait?

[invitebe0cd90e]

As tu rectifié le tir pour a et b ?

Pour 2), tu as un quotient de 2 polynomes, donc un quotient de 2 fonctions derivables partout.

Pour 3), en gros, le moyen le plus simple de fabriquer une fonction qui tend vers l'infini quand on se rapproche d'une valeur a, c'est de "provoquer" une division par 0, ou plus precisement de diviser par quelque chose qui tend vers 0 quand x tend vers a.

[invite7ffe9b6a]

Tu as déja rédigé rigoureusement la 1?

pour la 2.
Si on cosidere la suite

2,2,1,2,2,1,2,2,1,2,2,1,2,2,1. ....... qui clairement ne converge pas.

Si tu veux une définition rigoureuse.

On definit (Un)n comme ceci.
Un=2 si n congru a 0 ou 1 modulo 3.
Un=1 si n congru a 2 modulo 3.

Ne peut t-on pas extraire deux sous suite convergente de même limite?

EDIT: désolé je me suis fait des noeuds dans la numerotation des questions.
Je parle du petit a et b de la premiere question dans ce post....

[Fildomen]

et pourant je pense vous avoir bien expliqué la convergence des suites extraites , ne prend pas ca mechant, mais il faut que tu prenne obligatoirement des cours supplémentaires en maths + de bonnes heures de travail ! mais ne travaille pas les définitions et les propriétés comme s'il s'agissait de trouvails physiques , essaie de faire des interpretations graphiques a tout.
Bonne chance.

[invite7ffe9b6a]

Je voudrais bien t'aider mais ne sachant pas ou tu en es dans l'exo c'est dur.
Qu'est que tu as fait pour l'instant?
ou bloques-tu?

[invite7ffe9b6a]

Je redige la premiere réponse :

On se donne une suite (Un)n convergente vers l.

cela veut dire par définition:



Autrement dit, tout petit voisinage autour de la limite l (aussi petit que l'on veut ) contient tous les termes de la suite a partir d'un certain rang.

Bon ben maintenant prenons une sous-suite

ou est une application strictement croissante.

En clair, on prend certains termes de la suite (Un)n (une infinité mais on peut en sauter , on peut par exemple prendre que les indice pairs, les impaires , les multiples de 3 etc.... )

Intuitivement, on voit que si on se fixe un voisinage autour de la limite l , ce voisinage contient tout les termes de la suite (Un)n à partir d'un certain rang N (definition de la convergence). Mais quand on a definit notre sous-suite, il est clair que cette sous suite va contenir des termes situé apres ce rang N (sinon vu que ya qun nombre finit de terme avant N, la sous suite aurait un nombre fini de terme et serait donc pas une sous-suite ).
Donc finalement tout voisinage autour de l contient aussi tous les termes de la sous suite a partir d'un certain rang donc la sous-suite converge aussi vers l.

Bon ben rédigeons cela:

On se donne une suite (Un)n convergente vers l.



Soit



On prend une sous suite .

puisque est strictement croissante, on a


et


or on a pour tout n>no


en particulier pour tout (n>no)

soit

en recollant les morceaux on a bien



qui est la definition de la convergence de vers l.

[invite0b5059fb]

On considère que la première réponse est pour la question 1 et ainsi de suite.
1) soit (Un) une suite qui converge vers l alors toute suite extraite de (Un) converge elle aussi vers l. (l'énoncé du cours est clair là dessus).
2)ceci rejoint la réponse à la première question.