integrale double sur une ellipse

[invite77420056]

bonjour à tous.voila mon probleme : je dois calculer l'integrale double de xy sur U. U etant defini par (x,y) appartient à R2 tel que (x^2/a^2)+(y^2/b^2)<ou = à 1.je n'arrive pas à trouver les bornes des deux integrale.j'ai cherché et j'ai trouver que les deux premieres bornes de la premiere integrale etaient 0 et y .avec y=b racine carrée de (1-(x^2/a^2)).mais en regardant le corrigé je me suis apercu que c'etait faux ils marquaient comme bornes 0 et b/a fois racine carrée de (a^2 - x^2).je ne comprend pas mon erreur .quelqu'un aurait il la gentillesse de m'expliquer mon erreur et de m'aider a trouver les bornes des deux integrales grace au dessin de l'ellipse car je comprend rien .
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[invite77420056]

merci d'avance pour vos reponses

[invitea41c27c1]

b racine carrée de (1-(x^2/a^2))

b/a fois racine carrée de (a^2 - x^2)

C'est la même chose !!!!

[invite77420056]

merci bcp pour ton aide javais pas fait ettention

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitece2661ac]

Bonjour:
tout d'abord mon intuition me dit que notre intgral est nulle( dans le domaine dintegration pour chaque x il existe un (-x) et idem pour y)
Voila j'ai un petit astuce qui consiste a faire un changement de variable
Posant: x = a.u et y = b.v donc notre équation devient:u^2+v^2<ou = à 1
ce qui veut dire qu'on va integre sur un cercle de rayon 1.
et donc integ(xydxdy) sur l'ellipse = a^2.b^2.integ (uvdudv) sur un cercle de rayon 1
le problème devient donc le ccalcul de: integ (uvdudv) sur un cercle de rayon 1

passons donc aux coordonnées polaires : u=rcos(t) et v = r sin(t) avec:
r varie de 0 à 1 et t varie de 0 à 2.Pi
uv = r^2.cos(t).sin(t) et du.dv = dS = r.dt.dr ( elmt de surface en polaire)

integ (uvdudv) = integ( r^3.cos(t).sin(t).dt.dr)=0
car integ(cos(t).sin(t).dt) =0
car la primitive de sin(t)cos(t) = sin^2(t)/2 ou -cos(2t)/4

[invite77420056]

merci bcp nabil ca devient encore plus clair meme si javais deja compris avant ton message .merci

[invite77420056]

je crois que nabil se trompe car mon integrale a pour resultat a^2b^2/2 .mais ce que je voudrais savoir c'est sur quoi il se trompe.merci d'avance

[invitea41c27c1]

Ne serait-ce pas l'intégrale de qu'on te demande et non pas celle de par hasard ?

[invite77420056]

oui c'est ca c'est bien valeur absolue de xy.pourquoi???

[invitece2661ac]

bonjour
si c'est valeure absolue alors tu n'as pas lu mon intuition
bien sur dans ce cas notre integral est differente de zero
Posant: x = a.u et y = b.v donc notre équation devient:u^2+v^2<ou = à 1
ce qui veut dire qu'on va integre sur un cercle de rayon 1.
et donc integ(xydxdy) sur l'ellipse = a^2.b^2.integ (/uv/dudv) sur un cercle de
rayon 1
passons donc aux coordonnées polaires : u=rcos(t) et v = r sin(t) avec:
r varie de 0 à 1 et t varie de 0 à 2.Pi
et puisqu'il s'agit de la valeure absoulu alors notre integrale :

a^2.b^2.integ (/uv/dudv) = 4.(a^2.b^2).integ( r^3.cos(t).sin(t).dt.dr)
avec r : varie de 0 à 1 et t : varie de 0 à Pi/2
le (4) parceque ce qu'on a entre (0,Pi/2) se reppette entre (Pi/2,Pi) et (Pi,3Pi/2) et enfin (3Pi/2,2Pi)

integ( r^3.cos(t).sin(t).dt.dr) = (1/4).[1-0].(1/2).[1-0] =1/8 et donc le resultat finale est : (a^2.b^2)/2

[invite77420056]

merci javais fait une enorme faute dsl.mais bon je prefere la methode sans changement de variable meme si celle ci est tres pratique .

[invitece2661ac]

bonjour
no pb

[invitece2661ac]

est ce que je peux voir ton travail

[invite77420056]

juste un dernier truc on peut calculer cette integrale double sans utiliser le changement de variable non ?

[invitece2661ac]

bonsoir

evidemment c'est possible

[invitece2661ac]

bonsoir

me revoila puisqu'il s'agit de l'integrale de valeure absolue du produit xy sur l'ellipse alos c'est quatre fois l'integrale sur le (1/4) de l'ellipse definit par x et y positives simultaniemment.
I = integ(xydxdy) sur l'ellipse = 4.integ(xydxdy) sur le (1/4)de l'ellipse
= 4.integ{x[integra(ydy)]dx} avec :
x varie de 0 à a et y varie de 0 à b.[1 - x^2/a^2]^(1/2)

donc I = 4.(b^2/2)ineg[x.(1- x^2/a^2)dx]
integrale facile à calculer (genre f '.f)
le reste est evident
tout calcul fait on trouve: I = (a^2.b^2)/2

[invite77420056]

bonsoir quand tu ecrit I=4integ{x[integra(ydy)]dx} ca veux bien dire que on a 4 fois l'integrale par rapport a x de l'integrale par rapport a y.c'est ca non si ce n'est pas ca dis moi ce que cela veux dire stp.merci