Statistiques un jour, statistiques toujours...

[invite15f14b48]

Bonjour,

En préparation pour mes partiels qui ont lieu ds 10 jours exactement, j'ai commencée à faire qq exercices de stat' qui ma foi me donnent bien du souci. Pourriez-vous m'aider pour cette question svp?
(Je suis en 3ème année pharmacie)

-Dans un échantillon de 220 personnes on dénombre 86 fumeurs. En admettant que l'échantillon est représentatif, quelle est l'estimation de la proportion de fumeurs dans la population ? Quel est son intervalle de confiance (à 95%) ?
Bon, estimation = 86/220=0,3909. Jusque là ça va.

Mais après cmt faire pour calculer l'intervalle de confiance si je n'ai pas d'écart type ??!!

Merci de votre aide en cette période d'urgence et de panique.
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[Garf]

Pour un individu donné, notons 1 s'il est fumeur, 0 sinon. Soit la probabilité qu'il soit fumeur ; soit ton estimateur ; soit ta population.
Soit X une variable aléatoire qui vaut 1 si cette personne fume, 0 sinon.

On a alors .

Jusque là, rien que de très banal (inégalité de Bienaymé-Tchebytchev). Le problème, effectivement, est que l'on ne connaît pas .
Cependant, , où est compris entre 0 et 1. On vérifie alors que , d'où :



S'il y a quoi que ce soit à développer, n'hésite pas à demander.

[invite15f14b48]

Bonjour,

je suis vmt dsl de vous demander ça, mais pourriez-vous vulgariser un peu votre démonstration? C'est que les maths, pr moi...

En fait je sais que lorsqu'on fait une approche de la loi binomiale par la loi normale, et si on a
n= nd d'épreuves
p= proba d'un succès
q= 1-p

alors l'écart type de la loi normale est égal à σ=√npq...

Or qd je fais ça ds mon exo j'obtiens
n=220
p= 86/220=0,3909
q= 0,61
jobtiens σ= 7, 23 ce qui est loin d'être les 0,329 que trouvent le prof...

Aidez moi je suis desesperée...

Au fait, mes partiels st ds moins d'une semaine...y aura-t-il qq1 de régulier pdt ce tps ? car je risque de poster des questions ts les jours, avec un infime espoir...

MercI !!

[Garf]

Ah, tu n'es pas tombée si loin
Vu la méthode employée, oublie mon précédent post (qui donnait une inégalité exacte, mais a priori moins fine).

Il faut distinguer deux choses :
* la loi du nombre total de fumeurs ;
* la loi de la proportion de fumeurs dans la population.

Je reprends tes notations :
= nombre d'épreuves
= probabilité d'un succès
Ici, on ne prends pas trop de gants, apparemment, donc on confond allègrement dans les calculs d'intervalles de confiance la probabilité réelle d'un succès (la proportion de fumeurs dans la population française, par exemple) et sa probabilité empirique (la proportion de fumeurs dans les 220 personnes examinées).

Disons que la loi du nombre total de fumeurs parmis n personnes peut être approximée par une loi normale de moyenne et d'écart-type . C'est ce que tu as fait.
La proportion de fumeurs dans la population de n personnes est bêtement le nombre de fumeurs divisé par la population. Sa loi est donc une loi normale de moyenne et d'écart-type . C'est ce qu'a fait ton prof, et ce qui permet de répondre à la question demandée.

En faisant les calculs, on a :
(ce qu'est censé trouver ton prof : ou tu t'es trompée en recopiant, ou il s'est trompé)

De là, on en déduit qu'à 95%, p vaut 39,1% +/- 6,4%

En pratique, n'approche par des lois normale que des quantités renormalisées (une proportion de personnes partageant un caractère, par exemple) ; si tu approches des quantités globales (la quantités totale de personnes partageant un caractère), ça a tendance à mal se passer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite15f14b48]

D'abord je ne saurai comment te remercier du temps que tu m'accordes pr les explications, c'est vmt très gentil.

Revenons aux stat'.
"Ici, on ne prends pas trop de gants, apparemment, donc on confond allègrement dans les calculs d'intervalles de confiance la probabilité réelle d'un succès (la proportion de fumeurs dans la population française, par exemple) et sa probabilité empirique (la proportion de fumeurs dans les 220 personnes examinées)."

En fait, qd tu dis ça, tu veux dire qu'on confond pop° et échantillon?
Si c'est la cas, alors peut-être qu'il faut que je précise que l'énoncé disait "en considérant que l'échantillon est representatif, quel est son I.C à 95%?". On peut faire l'amalgame ds ce cas?

Alors je comprends à peu près ton explication mais je comprends pas pkoi tu fais passer le √n au dénominateur ds le calcul de σ.

Ma formule de l'I.C pr une moyenne μ est
= E(μ) + ou - t(α)xσ(μ)

D'après ce que j'ai vu, σ(μ)= σ(éch)/ √n
(Puisque la variance d'une moyenne # la variance d'un échantillon)

Mais ça ne m'explique pas pkoi y a plus ne n au numérateur ds ton calcul...

Merciiii

[Garf]

Je me rends compte que ma phrase n'était pas très claire.
Le problème que je voulais pointer, c'est celui-ci :

Ma formule de l'I.C pr une moyenne μ est
= E(μ) + ou - t(α)xσ(μ)

E(μ), c'est bien l'estimateur de μ, autrement dit la moyenne empirique ? C'est le seul moyen que je vois pour donner un sens à cette formule... qui en fait est fausse en toute généralité.
Mais pour développer cela, il faudrait revenir à la définition d'un intervalle de confiance. De toutes façons, cette formule donne des intervalles de confiance raisonnables dès que l'échantillon est assez gros (au moins 5-10 personnes dans chaque classe : 5-10 fumeurs, 5-10 non-fumeurs, etc.).
En gros, l'arnaque vient du σ(μ), qui est trop juste... d'autant plus que l'on ne connaît pas μ, seulement E(μ).

Bref, je suppose que pour ton examen ce genre de subtilité ne sera pas de mise. Autant oublier ce que je viens de dire (ou, si tu es consciencieuse, te borner à vérifier rapidement que l'échantillon est effectivement assez gros).

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Sinon, j'ai l'impression que tu confonds deux choses.
1) Quand on somme des variables aléatoires indépendantes, on additionne les variances.
2) Quand on multiplie une variable aléatoire par un réel positif, on multiplie son écart-type par la même quantité.

D'après le 1), Var(échantillon) = n*Var(1 seul individu).
En prenant la racine carrée, σ(échantillon) = *σ(1 seul individu).
En divisant par n, et d'après le 2), σ(μ) = σ(échantillon)/n = σ(1 seul individu)/.

L'écart-type du nombre total de fumeur dans l'échantillon, c'est .
La proportion de fumeurs dans l'échantillon, c'est le nombre total de fumeur dans l'échantillon, divisé par . Son écart-type est donc de .

[invite15f14b48]

Ahhh d'accord, mnt je comprends, grannnnd merci à toi.

Comme tu es le seul à me répondre sur ce forum, je me raccroche désespérément à toi pr te poser mes dernières questions:

généralement mes exos de stat' commencent par:
On souhaite étudier la relation effet-dose d'une substance, autrement dit, si l'effet varie avec les changements de dose.
(Je suis en pharma)

On demande ensuite de remplir des tableaux d'analyse de variance et d'autre part des tableaux d'analyse de variance, ceci dans le but de comparer l'analyse de regression avec l'analyse de variance.
Ca c'est pas trop compliqué, MAIS

On demande: en quoi ces tests permettent-ils de répondre à la question '' l'effet varie-t-il avec la dose'' ? et Quelles st les hypothèses Ho testées ds les 2 cas?

As-tu une idée??? Pcq je sais faire les calculs qui suivent ensuite, mais je ne saisis pas le point de départ...!!!

Encore et encore merci (Mon interro est mardi....)

[invite15f14b48]

Mon dieu comme je réussis vite mes exos maintenant que j'ai compris la nuance entre nb total et PROPORTION de ce nb ds l'éch.

Tu es UN ANGGGGGE GARF