Espace de Banach

[invite5489090b]

Bonjour à tous,
Voila je dois montrer que C ([a,b],R)muni de // // (infini) est un espace de Banach, je vois pas trop comment m'y prendre...
merci!
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[invite769a1844]

Salut,

on prend une suite de Cauchy .

1) montre que pour tout , converge dans vers une limite qu'on note .

2) montre ensuite que la fonction ainsi définie est bien continue et est limite uniforme des .

[invite5489090b]

OK merci
Donc je prends une suite de Cauchy c'est ça??

[invite769a1844]

Par définition, un espace métrique est complet si toutes ses suites de Cauchy sont convergentes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5489090b]

Oui je sais donc c'est pour ça qu'on prend une suite de Cauchy et qu'on doit montrais qu'elle converge mais c'est là ou je coince un peu...

[invite769a1844]

pour montrer qu'elle converge, on cherche d'abord un candidat qui pourrait être cette limite.

Ensuite on montre que est bien dans .

Reste à montrer que converge vers (une fois qu'on connaît l'expression de la limite éventuelle des , c'est plus facile de montrer que converge).

[invite5489090b]

Ok merci mais je bloque pour montrer que f est une limite uniforme