Densité

[invitebb921944]

Une simple question :
Le fait d'être dense dans quelque chose est-il transitif ?
C'est-à-dire si A est dense dans B et B est dense dans C, A est-il toujours dense dans C ? Parce qu'on utilise ce résultat à tour de bras...
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[MMu]

Oui, c'est trivial puisque dans ton cas . Vois tu pourquoi ? ... ..

[sadben2004]

Je ne vois pas ce que tu veux dire MMu
(Je suppose les espaces normées)
On a
A dense dans B pour la norme de B.
B dense dans C pour la norme de C.
Il se peut trés bien que B differe de C. et on a A dense dans C pour la norme de C.

A mon avis, ca utilise le procede de la suite diagonale !
soit
et soit pour n fixé
alors on doit pouvoir extraire une suite diagonale qui tend vers c.
Je ne me rappelle pas comment on procede mais j'y reflechi
Est ce que ca te dit qqch Ganash ?

[invitebb921944]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire Mmu
Effectivement, on utilise plusieurs fois dans le cours le procédé d'extraction diagonale de Cantor (je pense que tu veux parler de ça sadben2004). Au passage, on utilise toujours la même norme sur les trois espaces : la norme .

Mais je ne suis pas sur que l'on doive utiliser le procédé diagonal.

Si , il existe telle que à partir d'un certain rang.
A fixé, il existe telle que pour suffisamment grand, .
Donc, pour sufisamment grand, .
C'est le fait que ma suite dépende de deux paramètres qui me gêne...

[A voir en vidéo sur Futura]

[sadben2004]

@ganash

Ca ne peut pas etre la meme norme (ie celle de C), car dans ce cas
B = fermeture de (A)
donc B fermé et donc B=C. (d'ou la confusion de MMu)
Souvent dans les cours d'analyse fonctionnelle, les prof parle de densité sans specifier pour quelle topo, mais il faut comprendre que c'est celle de l'espace le plus grand.

[sadben2004]

Enfin je pense qu'on se fiche de la suite.

Pour epsilon quelconque tu touve un element de A dans la boule (c,epsilon).

D'où la densité !

[invitebb921944]

Je vois ce que vous voulez dire mais quelque chose m'échappe alors.
Par exemple, pour montrer que l'espace des fonctions lipschitziennes bornées qui sont dans est dense dans , mon prof dit :

Les fonction étagées intégrables sont denses dans . Il suffit d'approximer dans où est mesurable et .

Je crois que je saisis mon erreur... Le fait que j'arrive à faire cette approximation ne signifie nullement que mon espace des fonctions lipschitziennes bornées qui sont dans est dense dans l'ensemble des fonctions étagées intégrables puisque le premier n'est pas inclu dans le second...

[sadben2004]

Il suffit d'approximer dans où est mesurable et .

Il veut dire approcher f par des fcts lipchitzienne L1, j'ai mis du temps à comprendre cette phrase !

Pour le reste oui, il ne s'agit pas de densité d'ensemble emboité ici.

[MMu]

Désolé de ma confusion Je reprends ..
Je pense que dans l'énoncé, la topologie est la restriction de la topologie à .
Donc tout fermé de est de la forme , où est un fermé de .
Soient les fermés tels que . est dense dans selon donc :

est dense dans selon donc :

(q.e.d)

[MMu]

Il est tard, je crois que j'ai écrit des bêtises , vaut mieux que l'administrateur efface mon message ..

[Garf]

A étant dense dans B, tout voisinage dans B d'un point de B rencontre A.
Donc tout voisinage dans C d'un point de B, restreint à B, rencontre A.
Donc tout voisinage dans C d'un point de B rencontre A.
Donc, dans C, B est inclus dans la fermeture de A.
Donc, dans C, la fermeture de B est incluse dans la fermeture de la fermeture de A, autrement dit dans la fermeture de A.
Donc C est inclus dans la fermeture (dans C) de A.
Donc A est dense dans C.

Je sais, il se fait tôt et ce n'est pas très clair.

[Médiat]

Il va de soi que la topologie sur B est la restriction de celle de C, sinon, on ne peut rien dire :

tout voisinage d'un point contient un point , or est très exactement un voisinage de y pour la topologie induite sur , donc contient un élément de , qui est dans .

[sadben2004]

Tout a fait d'accord Mediat !

[invitebb921944]

Merci pour vos nombreuses réponses.
Mais je trouve aussi ceci dans mon cours :

est séparable pour .
Mon prof montre que est séparable (i.e. il existe une famille dénombrable dense) et en déduit que est séparable par densité de dans .

Sa démarche :
On écrit où et est l'espace des fonctions continues à support dans .
Il dit que par Stone Weierstrass, polynômes à coefficients rationnels est dense dans pour et donc pour puisque les sont de mesure finie.
Ceci conclut la démo !

Pour moi il utilise donc que est dense dans , donc que polynômes à coefficients rationnels est dense dans polynômes à coefficients réels et comme ce dernier est dense dans par Stone-Weierstrass, alors le premier l'est aussi... Non ?

Pour finir le raisonnement, est séparable, donc l'est aussi si l'on prend les entiers (on peut séparer chaque élément d'une union dénombrable, donc l'union est séparable). Puis enfin, puisqu'il existe une famille dénombrable dense dans et que est dense dans , alors ma famille dénombrable est aussi dense dans et donc cet espace est séparable.

Qu'est-ce qui va ? Qu'est-ce qui ne va pas ?
Parce que j'ai l'impression d'utiliser par deux fois un argument de transitivité pour la densité ici...

[Garf]

tout voisinage d'un point contient un point , or est très exactement un voisinage de y pour la topologie induite sur , donc contient un élément de , qui est dans .

Juste un petit détail en passant. On prend un voisinage V ouvert, ou plus généralement on prend y dans l'intérieur de V. Sinon, ça peut foirer (V n'étant alors pas un voisinage de y...).

Sinon, qu'est-ce qui ne va pas, au juste ?

[MMu]

.......
(q.e.d)

Juste pour corriger une imprécision . La dernière ligne il faut corriger comme suit :
, donc (q.e.d) ...