Différentielle d'une fonction

[Bleyblue]

Bonjour,

En géométrie différentielle, quelqu'un pourrait t'il m'expliquer comment calculer la différentielle d'une application telle que (par exemple) :



Cela fait des semaines entières que je tente de comprendre ça sans succès, et j'ai examen la dessus bientôt

merci
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[invitef9f95d1e]

Comme on est en dimension finie (2) il serait utile de calculer les derivées partielles de l'application car elles donnent une expression de la differentielle de l'application.

[Bleyblue]

Mais pourtant S¹ est une variété différentiable de dimension 1 et non pas 2.

Je pense que ce que tu me dis est valable dans mais plus sur une variété quelconque ... (à moins que je ne comprenne mal, et dans ce cas je m'excuse )

merci !

[invitea41c27c1]

Première chose pour calculer une différentielle : déterminer l'espace tangent !!! (je te laisse faire)

Si on note , on a :
et .

Je crois que ça doit te débloquer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

L'espace tangeant est ici (e.v. de même dimension que la variété)

Je suppose que D_M désigne la différentielle au point M.

Comme dg = 1.dx + 0.dy = dx on a donc que la différentielle est la même que celle de g ?

merci

[invitef9f95d1e]

Au temps pour moi j'allai calculer la differentielle en fonction de dx et de dy puis les sommer ce qui est parfaitement faux.

[invitea41c27c1]

L'espace tangeant est ici (e.v. de même dimension que la variété)

Je suppose que D_M désigne la différentielle au point M.

Comme dg = 1.dx + 0.dy = dx on a donc que la différentielle est la même que celle de g ?

merci

...non...tu n'as pas bien compris...

L'espace tangent en un point c'est l'ensemble des vecteurs tangent à ta sous-variété. Bien sûr cet espace tangent (qui dépend du point) est de dimension 1 et donc est isomorphe à , mais tu ne peux pas dire impunément que c'est égale à . Par exemple si je te demande "quelle est la différentielle de ta fonction au point ", il Ne faut Pas me répondre "c'est l'application ", c'est Faux (cf plus bas).

Revenons à notre espace-tangent. L'espace tangent en un point , c'est (sais-tu pourquoi?). Et donc , c'est juste restreinte au sous espace vectoriel .

Si tu as bien compris, montre moi que est l'application linéaire nulle et donne moi son espace de départ et d'arrivé.

[Bleyblue]

Je ne comprend pas.

Pourquou y a t'il des espaces orthogonaux qui interviennent maintenant

Je peux pas, ce cours de gémo diff c'est trop pour moi, je crois que je vais simplement arrêter mes études de math et me faire fleuriste ...

mercu

[haciol]

Bonjour,
tout comme notre ami Bleyblue je galère un peu avec cette notion de différentielle sur une variété. Cette discution m'aide beaucoup, mais j'aimerais savoir si vous connaissez des bons livre ou polys qui traite de ce sujet.
Merci d'avance.

[GrisBleu]

Salut

Ton probleme m'interesse car j'essaie de comprendre aussi ce genre de problemes.
J'espere que tu as encore besoin de la reponse


J'ai la version pas tres rigoureuse:
La variete est un cercle. Une carte possible - quand elle est definie - est
La differentielle de la fonction est donc
[TEXdf=\frac{df}{d\theta}d\thet a=[/tex]
n'est pas complique a calculer.Il suffit de tout exprimer au final en x et y
[TEXd\theta=-ydx+xdy[/tex]

La version plusrigoureuse:
Je pose mes notations
est le plan (comme une variete)
est la variete que tu decris
est une fonction
est un point considere de
est un ouvert de avec sa carte . Je note les coordonnees
est l'intersection de et de avec sa carte . Je note la coordonnees
Finalement est un chemein dans C tel que .

Je vais commencer par trouver le plan tangent a C en P. Un moyen de generer les vecteurs est de deriver . En effet
- ou et sont parfaitement differentiables avec les notions connues dans les Rn.
- ou et sont parfaitement differentiables avec les notions connues dans les Rn.

Dans les deux cas



Dans le deuxieme cas, on voit que l'espace tangent est de dimension 1: Un vecteur V quelconque est
Dans le premier cas, c'est moins simple: il y a les deux vecteurs de bases mais les deux composantes de gamma sont liees car gamma se balade sur C: . Donc .
Bref on cherche un vecteur qui
- s'exprime comme la somme m e1+n e2 sachant qu il existe a et b tels que a m + b n =0. C'est exactement comme chercher la representation d'une droite: d=m ex + b ey sachant que am + bn=0 (a/b est la pente). La reponse est d = l(-b e1 + a e2) ou l est quelconque. Ici, ca donne
sachant
Donc

Donc l'espace tangent est
On voit bien que ca marche: sur le point (0,1), le plan tangent est bien genere par d/dx. Sur le point (1,0) le plan tangent est bien genere par d/dy.

Reste a determiner un vecteur de base l'espace dual a l'espace tangent.
Evidemment est une reponse.
Maintenant, on peut determiner ue forme avec dx et dy en utilisant notre vecteur de base
Par definition
Donc, si j'essaie la forme , j'obtiens
et donc
On retombe bien sur le resultat de la version non rigoureuse


Par contre je bloque sur comment identifier t et theta de maniere claire
A+

[GrisBleu]

Par contre je bloque sur comment identifier t et theta de maniere claire
A+

Bon, en fait j'ai pense a ca:


En derivant

I.e. par definition


En reprenant mes expressions du dernier post, on a pour toute fonction f sur C


Or

Donc pour tout chemin, on a l'egalite des vecteurs

Donc
et, par symmetrie du raisonnement

On tombe bien sur (avec sur


La suite decoule de ca
a+