Exo Courbes Paramétrées MPSI

[invitecd9691dc]

Slt à tous, voici mon énoncé : "Rechercher les points doubles de la courbe suivante : x=cos(3t)
y=cos(4t)."

Cos définie sur R.
x et y 2PI périodiques, donc étude sur -Pi;Pi.
x et y paires, donc étude sur R+, donc sur 0;Pi
Et il faut donc que je trouve les points M tels que M(t1)=M(t2) avec t1 et t2 différents.
On a cos(3t1)=cos(3t2)
et cos(4t1)=cos(4t2).

A partir de là, j'obtiens un système de "quatre doubles équations" avec des modulo 2Pi".
Ex : 3t1 congru à 3t2 [2pi] et 4t1 congru à 4t2 [2pi].

Et ensuite...je suis bloqué. Est ce que quelqu'un aurait la gentillesse de me débloquer Merci.
-----

[invitef9f95d1e]

Dejà tu reduis ton intervalle a 0 Pi donc tu oublies les modulo 2Pi, en tout cas de maniere generale car si t appartient a 0 Pi on a 3t qui appartient a 0 3Pi. alors ensuite on resout cos 3t1=cos 3t2 avec 3t1 et 3t2 qui appartient a 0 3Pi. On en deduit alors quatres equations avec les cosinus. Puis on fait le meme travail avec les sinus puis on resout "simplement".

[invitecd9691dc]

Ok, si je comprends bien, j'obtiens donc :
3t1=3t2
4t1=4t2. d'où t1=t2 Impossible par hypothèse.

3t1=3t2
4t1=-4t2 => t1=t2 et t1=-t2 là je sais pas comment expliquer que c'est Pi/4. C'est ça au moins??

3t1=-3t2
4t1=4t2 La même chose.

3t1=-3t2
4t1=-4t2. Impossible.

Donc comment à partir de ça je montre que c'est Pi/4 (j'avais regardé la calculette)??

[invitef9f95d1e]

4 equations avec les cosinus!
t1 appartient a -Pi Pi mais pas 3t1 c'est pourquoi on a aussi les equations
3t1=3t2+2Pi
3t1=-3t2+2Pi

[A voir en vidéo sur Futura]