Arctg(x) + Arctg(y)

[Bleyblue]

Bonjour,

Voilà 2 petite relations que j'ai essayé de démontrer mais je ne suis pas sûr que je m'y prend bien :

Si a et b sont réels et que ab < 1 alors :

1)
2)

Etant donné que je sais démontrer que :


je peux donc écrire :

1)



2)

Mais comme je fait passer l'Arctg de l'autre coté il se tranforme en tg et donc on a la fraction qui doit être < que l'infini ce qui est toujours le cas pour un réel ...

Pensez vous que ce soit juste ? Je n'ai pas l'habitude de faire intervenir l'infini comme ça

Merci
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[martini_bird]

Salut,

1)

L'idée est là, un petit usage de limite aurait été le bienvenue.

1)
2)

Mais comme je fait passer l'Arctg de l'autre coté il se tranforme en tg et donc on a la fraction qui doit être < que l'infini ce qui est toujours le cas pour un réel ...

Tu te compliques un peu la vie: si tu revois la définition classique de l'arctangente (fonction réciproque de la tangente sur ]-pi/2, pi/2[), alors tu as directement pour tout x, Arctan(x)<pi/2.

Cordialement.

[Bleyblue]

Ah daccord,
Oui en effet, pour la 2) c'est plus simple comme ça ...

Pour la 1) tu veux dire qqe chose comme :



Merci bien

[Gwyddon]

c'est vrai seulement si

il faut donc faire attention au domaine de définition de

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

En effet, je vient de m'en rendre compte.
Mais en fait je pense que dire que xy < 1 avec x et y > 0 ça revient au même, mais je comprend pas bien pourquoi ...

merci

[Ryuujin]

Salut, pour montrer que arctan(a)+arctan(1/a)=Pi/2 moi je dérive la fonction f : x--->arctan(x)+arctan(1/x), j'obtient une dérivée nulle donc ma fonction est constante et après pour chercher la constante je prends f(1)=2 anrctan(1)=Pi/2 et le tour est joué

[Ryuujin]

salut,
Arctan(x)+Arctan(y)=Arctan((x+ y)/(1-xy) si xy<1,
Arctan(x)+arctan(y)={PI/2)*sign(x) si xy=1,
Arctan(x)+Arctan(y)=Arctan((x+ y)/(1-xy)+Pi*singne(x) si xy>1
et donc si xy<1, alors Arctan(x)+Arctan(y)=Arctan((x+ y)/(1-xy) et comme Arctan (R) est ]-PI/2;PI/2[ que veut le peuple ? (Arctan((x+y)/(1-xy)<PI/2

[Bleyblue]

Ok, merci bcp