Bonjour,
j'ai un dm à rendre mais je bloque sur une question voici l'énoncé :
Soient E, F et G 3 ensembles, f une application de E dans F et G une application de F dans G. On note k la composé g°f.
-> Montrer que,si k est injective, alors f également.
Montrer que si de plus f est surjective, alors g est également injective.
Salut,
Qu'est-ce qu'il te bloque au juste ? Utilise la définition d'une application injective pour un élément pris dans E auquel tu appliques la fonction k.
Soit x,x' dans E:
f(x)=f(x')
On compose avec g:
g(f(x))=g(f(x'))
Soit:
k(x)=k(x')
Mais k est injective:
x=x'
Finalement:
x dans E , x' dans E: f(x)=f(x') => x=x'
Ce qui veut dire que f est injective.
La ou je bloque c'est pour la suite on nous demande :
si k est surjective, alor g l'est également la démarche est-elle la même?
Montrer que si de plus g est injective, alors f est également surjective ??
Je ne comprend plus la question : si de plus f est surjective ou bien k ?
Pour k surjective, il est simple de monter que g l'est. Si f est surjective en plus d'être injective par le biais de k, montrer que g est injective n'est pas bien compliqué non plus (essaye de suivre ton raisonnement de la 1ere question, il est juste).
