Norme strictement convexe

[raji1990]

bonjours tous le monde
j'ai eu un problème que j'ai pas pu résoudre
il s'agit de monter que la norme euclidienne est strictement convexe
B={x∈ℝ^(n)/||x||<1}
|| || la norme euclidienne de ℝ^(n)
la question et de monter que ||(1-t)x-y||<1
merci d'avance

[rhomuald]

Bonjour,

il s'agit plutôt de montrer que pour , . Utilise l'inégalité triangulaire.

[raji1990]

Bonjour,

il s'agit plutôt de montrer que pour , . Utilise l'inégalité triangulaire.

j'ai pensé mais comment et ou introduire l'inégalité triangulaire

[God's Breath]

[raji1990]

merci pour vos reponses je crois que j'ai resolu l'inegalité mais je voudrai savoir si c'est juste
on a ||x||<1 ce qui implique (1-t)||x||<1-t⇒||(1-t)*x||<1-t
de meme pour y ||t*y||<t
on somme les deux inegalité on aura ||(1-t)*x||+||t*y||(1-t)x||+||ty||
et par inegalité triangulaire ça donne le resultat
||(1-t)x-y||<1
sinon y'a d'autre methode
"j'ai lu qu'une norme de E est strictement convexe si:
([||x||=||y|| et ||x+y||=2]⇒x=y)"
comment montré que la norme euclidienne verifie cette implication
merci encore à tous le monde

[raji1990]

dsl si j'ai fait beaucoup de faute
je voudrai savoir si je peut modifier mes messages

[raji1990]

je reformule le sujet parcque||x||<=1 et non pas inferieur strict à 1
B={x∈ℝ^(n)/||x||≤ 1}
|| || la norme euclidienne de ℝ^(n)
la question et de monter que ||(1-t)x-ty||< 1
avec t∈[0,1]
PS:j'ai demontré l'inegalité non strict

[God's Breath]

Le résultat est vrai pour seulement, toujours par inégalité triangulaire, en faisant le calcul analytiquement.

[Garf]

Euh... L'inégalité triangulaire ne suffit pas à démontrer la stricte convexité d'une norme. Seulement sa convexité. Et pour cause, il existe des normes non strictement convexe (norme infinie sur l'ensemble des fonctions continues bornées sur les réels, par exemple).

Ce qu'il faut montrer, c'est que si , , alors pour tout dans , . Ce qui est plus fin que ce que l'on obtient avec l'inégalité triangulaire.

Je crois que le plus simple est d'utiliser Cauchy-Schwartz, et la caractérisation de la stricte convexité du pénultième message de Raji.
Soient et de norme , tels que .
Alors .
Donc .
On est donc dans le cas d'égalité de Cauchy-Schwartz : en particulier, et sont colinéaires.
et étant de même norme, ou .
Or, si , : c'est impossible.
Donc .

[raji1990]

même pour x=y
l'inégalité reste vraie puisque t n'est pas égale a 1
pour l'inégalité triangulaire ça donne la convexité moi je cherche la convexité strict

[Garf]

même pour x=y
l'inégalité reste vraie puisque t n'est pas égale a 1

Si , alors est de norme , quelque soit , et l'inégalité stricte est non vérifiée.