La norme d'une matrice orthogonal :s !

[Fildomen]

Bonjour !
J'ai travaillé aujourd'hui le concours esim 2003, dans ses préliminaires il ya une question qui m'a perturbé un peu :

O(n) désigne le groupe orthogonal d'ordre n
On désigne par ll .. ll la norme définie sur Mn(R) par llMll= Max |m(i,j) l

Démontrer que : Pour toute matrice de O(n) on a llMll <= 1

sur le corrigé je trouve:
Si M appartient a O(n), les vecteurs colonnes de M sont des vecteurs unitaires (pour la norme
euclidienne canonique). Leurs coordonnees sont donc en valeur absolue majorees par 1.

pourquoi les vecteurs colonnes de M seront unitaires ??
est-ce qu'une matrice est orthogonal si et seulement si la familles de ses vecteurs colonnes est orthonormé (et pas seulement orthogonale ) ?
5In est une matrice de colonnes orthogonales et pourtant elle est pas orthogonale ( determinant = 5^n pas +-1) .

j'ai pas compris cette réponse , aidez moi s'il vous plait.
Merci
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[ericcc]

Voir ici la définition du groupe orthogonal :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_orthogonal

La condition sur la matrice est que tMM=Id

[Fildomen]

oui oui ! mais d'ou vient que ses vecteurs seront unitaires ?

[ericcc]

Les éléments de la diagonale de tMM, comment sont ils calculés ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Fildomen]

merciiiiii bcp m.ericcc !!! j'ai compris maintenant !

[carp-sarah]

je sais que cette conversation date, mais j'aimerais bien comprendre pourquoi les vecteurs colonnes d'une matrice orthogonales sont unitaires ?

le coefficient diagonal de t M*M est pour la ligne j : somme de k allant de 1 a n, de mi,k*mk,i qui doit etre egal a 1 et puis?
Merci

[toothpick-charlie]

quand tu as écrit ta somme, tu as oublié la transposition. Ecris-la correctement et tu comprendras.

[carp-sarah]

bonsoir, pouvez vous m'aider svp?
j'ai vu que si N est la norme euclidienne, alors pour toute matrice M orthogonale on a N(M) = racine de n n dimension de l'espace, pourquoi??
et àa veut dire quoi la norme d'une matrice?