Projection orthogonale d'un sous-espace de L²(R^d)

[invite947ee6e5]

Bonjour,

Mon probleme est :
Soit un sous-ensemble de R^d, et suppose que S est le sous-espace de L²(R^d) composé des fonctions qui s'annulent pour presque tout x de E.
Montrer que la projection orthogonale P sur S est donnée par :
P(f) = X_E .f
où X_E est la fonction caractéristique de E.
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[invite947ee6e5]

Alors, je vois bien que P(f) = f si f appartient à S.
Et que P(f) = 0 pour f appartenant au complement orthogonal S|- de S, et x n'appartenant pas à E (X_E(x) = 0 annule le produit).
Par contre, pour f appartenant au complement orthogonal S|- de S et x appartenant à E, je ne vois pas comment ça marche.

Peut-être dois-je déterminer explicitement le complément orthogonal de S.
Aussi, ne dois-je pas d'abord montrer que S est fermé pour que la somme directe de S et S|- soit effectivement égale à L²(R^d) ?

Merci de votre aide.

[invite947ee6e5]

Bon, pas d'idées ? Personne ?
Est-ce que qqun sait comment je peux déterminer explicitement S|- ? Pour pouvoir l'utiliser dans le calcul de P(f) qd f appartient à S|-.
Merci