Montrer que R et C(R,R) sont ou ne sont pas en bijection.

[thepasboss]

Bonjour,

Je suis en L3 maths et je me suis posé cette question :

R et l'ensemble des applications continues de R dans R sont-elles en bijection ? J'ai pu d'abord montrer sans grandes difficultés que R et l'ensemble des applications de R dans R (pas forcement continues) ne sont pas en bijection, mais j'aurais aimé répondre à la même question avec cette fois C(R,R) ^^

Et là par contre, je ne trouve aucun angle d'attaque... Pas l'ombre d'une petite idée, à l'intuition je dirais qu'il n'existe pas de bijection entre les deux ensembles mais on apprend vite à ne pas se fier à ses intuitions.

Donc voila j'aurais bien aimé que quelqu'un me donne une piste pour aborder le problème (niveau L3 si possible), sans toutefois me le résoudre car j'aimerais m'y casser un peu les dents encore un peu ^^

Merci d'avance
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[God's Breath]

Commence par prouver que l'application

est une bijection.
Il te restera à prouver que et sont en bijection.

[thepasboss]

Merci God's Breath pour cette réponse rapide ^^

Je m'y attelle et reposte si jamais je bloque quelque part

[invitea41c27c1]

Commence par prouver que l'application

est une bijection.

Je ne crois pas que c'est une bijection, la fonction indicatrice de l'intervalle est continue sur , mais n'admet pas d'antécédent pas . Par contre ton application est bien une bijection si on se restreind aux fonctions uniformément continues.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Effectivement, ce n'est pas une bijection, seulement une injection, ce qui est amplement suffisant pour un résultat de cardinalité.

[thepasboss]

Hem, bon et bien je reposte:

J'ai montré sans trop de problèmes que ton application est une injection, mais ensuite... Pas moyen de montrer que C(Q,R) et R sont en bijection... Alors ensuite j'ai essayé comme je pouvais de trouver une injection de C(Q,R) dans R (ou plein d'autres comme P(N), {0,1}^N,etc...) afin de conclure avec le théorème de Cantor Bernstein... Mais pas moyen non plus.

Je pense que mon problème est de trop vouloir exhiber explicitement une injection ou une bijection, mais je ne vois pas comment faire pour m'en sortir autrement qu'en exhibant une telle bestiole sur ce coup ci...

Un autre petit coups de main ?

[God's Breath]

On injecte dans .

On a l'inclusion qui est en bijection avec , en bijection avec , en bijection avec , en bijection avec .

On injecte donc dans , et il est aisé d'injecter dans .

[Médiat]

On peut aussi faire de simples considérations de cardinalité :

or
et
donc


or

donc

et comme

cqfd
En fait cela montre que

Dans l'autre sens c'est assez trivial.

[acx01b]

bonjour,

et est-ce qu'il existe une bijection facile à exhiber de
(A est l'ensemble des applications) ?

[God's Breath]

On peut facilement exhiber une bijection de dans , donc une bijection de dans , puis dans .
Il est classique que est en bijection avec , mais il n'est pas facile d'exhiber une bijection.

[acx01b]

ok merci je vois

pour la bijection de dans on pourrait faire comme ça : on écrit le réel en binaire et un coup sur deux on prend un bit de la partie "décimale", puis un bit de la partie entière ce qui nous donne une suite infinie de bits

[God's Breath]

Sauf que ce n'est pas une bijection : 0,100.... = 0,01111....