Un petit problème d'Algèbre linéaire

[invite2e5fadca]

Ceci n'est pas un exercice, mais une quaestion que j'essaie de résoudre.

Soit et deux endomorphisme de E, un espace vectoriel de dimension finie.

On peut montrer assez aisément que :

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Soit .
Soit un vecteur propre non nul de pour la valeur propre .

Alors on a

Et en appliquant g à gauche on obtient

Si n'est pas nul, alors

Si est nul, on aura necessairement , donc il suffit de montrer que est valeur propre de .

Or

Dans tout les cas le ne peut être juste le vecteur nul.

Donc est valeur propre de

Maintenant je me demande, si on a égalité des dimensions pour les espaces propres / caractéristiques. Si non sous quelles conditions peut-on les avoir.

J'ai déjà montrer que l'on a égalité des dimensions des espaces propres si ou est un isomorphisme. Après je ne sais plus trop quoi faire...
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[invite642cafc1]

Commençons avec k (au lieu de lambda désolé pour le changement) non nul
La même idée aboutit à g (ker(fog-kId)ⁿ)) est inclus dans dans ker((gof-kId)n), idem pour f et (gof_kId)ⁿ
Maintenant, g est injectif sur ces espaces (c'est là que k non nul est utile), par le même genre de raisonnement.
Donc dim(ker(fog-kId)ⁿ)dim(ker(gof-kId)ⁿ)).
Or, en utilisant f cette fois on montre l'inégalité opposée.
Il y a donc bien égalité de dimensions entre ces espaces (pour k non nul).
Comme on est en dimension finie on en déduit facilement que les dimensions des espaces caractéristiques associés à 0 sont identiques.

Pour les autres espaces associés à la valeur propre 0 il faut que je réfléchisse un peu plus.

[invite2e5fadca]

D'accord, je vais essayer d'y reflechir un peu, j'ai un peu de mal a voir comme ca les inclusions du début, mais la suite est parfaitement juste. Je vais un peu griffoner et je verrais.

Merci pour ton aide.

[invite2e5fadca]

Oui j'ai bien compris le raisonnement, comme tu l'as écris on géneralise ce que l'on a fait en 1.

Pour l'espace propre associé à 0, je pense que cela ne marche pas, mais je vais chercher un contre exemple ( vers 12H00, avant je n'aurais pas le temps) avec l'aide de Maple, ca ira plus vite.

Si cela marchais, cela reviendrait à dire que :

dim(Ker u + (Im u inter Ker v)) = dim(Ker v + (Im v inter Ker u))

Et je ne pense pas que cela soit vrai.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite642cafc1]

Pour 0, le résultat est en effet faux. Contre-exemple (très simple) :
E=Ru+Rv (somme directe) f(u)=0 f(v)=u g(u)=0 g(v)=v
gof=0 donc dim ker(gof) =2 tandis que fog(u)=0 et fog(v)=u donc dim ker (fog) =1.