norme matricielle

invite52487760 · 26/03/2009, 20h49

Bonjour à tous : :happy3:
Soit $\text{[math]}$ une norme sur $\text{[math]}$ .
On sait que : $\text{[math]}$ est compact dans $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ :
Soit $\text{[math]}$ la transformation linéaire associé à $\text{[math]}$ telle que :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est continue sur $\text{[math]}$ .
Si on se restreint sur le compact : $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ atteint sa borne superieure sur $\text{[math]}$ :
Par suite, on pose $\text{[math]}$ cette borne telle que :
$\text{[math]}$
C'est une norme qui s'appelle norme uniforme sur $\text{[math]}$ !
Question :
Si $\text{[math]}$ est la norme euclidienne, montrer que :
$\text{[math]}$
où : $\text{[math]}$ est le maximum des velurs propres de la matrice : $\text{[math]}$

Aidez moi pour cette exo ! et merci infiniment ! :happy3:

invite52487760 · 26/03/2009, 21h13

Salut à tous :

Voici ce que je fais :
$\text{[math]}$
Je voudrai savoir porquoi :
$\text{[math]}$

MErci d'avance !

**God's Breath** · 26/03/2009, 22h10

Bonjour chentouf,

La matrice $\text{[math]}$ est symétrique réelle, donc diagonalisable en base orthonormée.

Il te suffit d'évaluer $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans une base orthonormée de vecteurs propres de $\text{[math]}$ .

invite52487760 · 27/03/2009, 03h16

Bonjour "gb" :

Merci pour ces precisions "gb" !
Alors :
$\text{[math]}$ est symetrique, donc, diagonalisable :
Celà signifie qu'il existe, une base orthonormée de vecteurs propres de $\text{[math]}$ qu'on note par exemple : $\text{[math]}$ et on a : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$
Par conséquent :
$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$
Voilà ! j'espère qe c'est correcte ça "gb" ! et je ne sais pas quoi faire par la suite !
Merci d'avance de votre aide !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite52487760 · 27/03/2009, 03h42

"gb" :

Je pense qu'il faut proceder de la manière suivante :
$\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Mais je ne vois pas comment montrer qu'il y'a égalité :
i.e :
$\text{[math]}$
Merci d'avance de votre aide !

invite52487760 · 27/03/2009, 04h16

Ah d'accord :

Par exemple :
Pour $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ est associé au valeur propre : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$
Et donc :
$\text{[math]}$
CQFD !

Salutation à tous !

invitea41c27c1 · 27/03/2009, 06h39

Je vois que tu t'en ai sorti.
Mais au passage

Envoyé par chentouf

Je voudrai savoir porquoi :
$\text{[math]}$

cette inegalite est dans le mauvais sens... mais cela n'a pas l'air de t'avoir induit en erreur.

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