Convergence dans un espace de mesure

**Bleyblue** · 11/04/2009, 11h44

Bonjour,

J'essaye de montrer qu'une suite de fonction convergente presque partout sur un espace de mesure $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ converge également en mesure.

Je dois donc montrer que pour tout $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

sachant que
$\text{[math]}$ tend vers zero lorsque n tend vers l'infini pour tout x n'appartenant pas à N, N de mesure nulle.

(fn et f sont toutes à valeurs complexes)

Mais je ne vois pas bien (d'ailleurs les exercices de théorie de la mesure je ne vois jamais rien

)

Avez-vous une idée ?

merci

invite7ffe9b6a · 11/04/2009, 12h23

Bonjour,
je suis pas expert en theorie de la mesure et il est probable que je me plante mais à premiere vu, je poserais.

$\text{[math]}$

J'essairais d'établir que la suite $\text{[math]}$ est décroissante à partir d'un certain rang (ils doivent etre vide à partir d'un certain rang). La mesure est finie donc la suite des mesures tend vers la mesure de l'intersection (le vide) donc vaut 0.

Encore une fois, je suis pas du tout sur de mon coup ...

invitec1ddcf27 · 11/04/2009, 15h55

Ma solution me parait trop simple, mais j'y vois pas d'erreur... Soit $\text{[math]}$ On écrit (réunion disjointe)
$\text{[math]}$
mais
$\text{[math]}$
Pour tout $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
Et donc
$\text{[math]}$
Ainsi pour $\text{[math]}$ assez grand, $\text{[math]}$

**God's Breath** · 11/04/2009, 16h38

Envoyé par xav75

Pour tout $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
Et donc
$\text{[math]}$

Le « Et donc » me semble un peu rapide et scabeux. Il me semble que le raisonnement sous-entend la convergence uniforme.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitec1ddcf27 · 11/04/2009, 16h42

c'est exact !

invitec1ddcf27 · 11/04/2009, 17h16

à $\text{[math]}$ fixé, l'ensemble
$\text{[math]}$
tend vers le vide pour $\text{[math]}$ . L'indicatrice de cet ensemble est majoré par l'indicatrice de $\text{[math]}$ qui est intégrable puisqu'en mesure finie. Par convergence dominé, on a donc
$\text{[math]}$
Voila, il me semble que cette petite modification de rédaction régle le passage à la limite litigieux ? (et du coup on a bien besoin de l'hypothèse de mesure finie)

**God's Breath** · 11/04/2009, 17h33

Envoyé par xav75

à $\text{[math]}$ fixé, l'ensemble
$\text{[math]}$
tend vers le vide pour $\text{[math]}$ .

Pour quelle topologie la suite $\text{[math]}$ tend-elle vers le vide ?

invitec1ddcf27 · 11/04/2009, 17h42

blague ?? topologie métrique usuelle induite par le module sur $\text{[math]}$ . On a bien
$\text{[math]}$
Les fonctions sont à valeur dans $\text{[math]}$ . Je comprend pas ce qui pose problème. S'il existe $\text{[math]}$
on obtient
$\text{[math]}$
par passage à la limite. Ce qui est absurbe. Donc A_n est vide.

invitec1ddcf27 · 11/04/2009, 17h44

Donc A_n est vide à l'infini... si j'oubli des mots, forcément c'est plus très clair

invitec1ddcf27 · 11/04/2009, 17h53

autant pour moi, c'est vrai que c'est pas encore très propre, en effet il n'y a pas de topologie sur la classe d'ensembles $\text{[math]}$

invitec1ddcf27 · 11/04/2009, 18h33

en revanche il est facile d'avoir la convergence
$\text{[math]}$
(topologie de la convergence simple des fonctions). Soit $\text{[math]}$ .
Pour n assez grand $\text{[math]}$ . De sorte que $\text{[math]}$ . On a donc bien la convergence ponctuelle $\text{[math]}$ ...
En recollant les morceaux, l'exo est fini... J'attends la validation de God's Breath !!

**Bleyblue** · 11/04/2009, 22h08

Vous allez trouver ça bête comme question mais ça me laisse perplexe maintenant que j'y pense :

Qu'est ce qui nous assure que tous ces ensembles dont on prend la mesure sont mesurables

?
Après tout, l'espace de mesure est quelconque ...

merci beaucoup pour toutes vos réponses

invitea41c27c1 · 11/04/2009, 22h48

Envoyé par xav75

en revanche il est facile d'avoir la convergence
$\text{[math]}$
(topologie de la convergence simple des fonctions). Soit $\text{[math]}$ .
Pour n assez grand $\text{[math]}$ . De sorte que $\text{[math]}$ . On a donc bien la convergence ponctuelle $\text{[math]}$ ...
En recollant les morceaux, l'exo est fini... J'attends la validation de God's Breath !!

Histoire de clarifier les choses :

$\text{[math]}$ . Comme $\text{[math]}$ converge presque partout vers $\text{[math]}$ par convergence dominée puisque l'espace est de mesure finie (as-tu utilisé cette hypothèse ???), on a $\text{[math]}$ CQFD.

Dernière chose : $\text{[math]}$ est mesurable car image réciproque d'une partie mesurable par une fonction mesurable.

**Bleyblue** · 12/04/2009, 22h10

okido

merci à tous

!

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