Matrice de Rang 1

[invite26c7b7da]

Bonjour à tous,

Je bloque sur un exercice sur les matrices :

1- Montrer que A€Mn,p(K) est de rang 1 <=> 2- A est le produit d'une matrice colonne (différente de 0) par une matrice ligne (différente de 0)

Pour la 2=>1 je pense qu'il suffit de montrer que le produit de 2 matrices, une colonne et une ligne fait une matrice avec une seule "case" donc de rang 1.

Par contre pour le 1=>2 je suis bloqué

Merci d'avance
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[God's Breath]

Si tu as une colonne et une ligne , le produit est une matrice carré d'ordre n :



D'autre part une matrice est de rang 1 si, et seulement si, ses colonnes engendrent un espace de dimension 1, c'est-à-dire s'il existe une colonne non nulle telles que les colonnes de soient proportionnelles à , les coefficients de proportionnalité étant non tous nuls.

[invite4ef352d8]

Salut !

de facon "plus algébrique" : une matrice est de rang 1 si l'image de l'application canonique associé est de dimension 1, ie, si il existe un vecteur v telle que f(x)=v.lambda(x)

on vérifie imédiatement que lambda doit etre une forme linéaire, et à partir de la le vecteur colone est v et le vecteur ligne est la matrice de lambda.

[invite26c7b7da]

Dans mon cas le n de la matrice colonne et celui de la matrice ligne ne sont pas forcément égaux ... Donc le produit des 2 pas forcément carré

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Dans mon cas le n de la matrice colonne et celui de la matrice ligne ne sont pas forcément égaux ... Donc le produit des 2 pas forcément carré

Tu modifies la taille de la ligne et de la colonne pour que le produit ait la taille de ...

[invite26c7b7da]

En fait,

Le rang d'une matrice de format (n,p) est le rang (dans Mn,1) de la famille de ses colonnes

Donc si ce rang est de 1 cela signifie soit qu'il n'y a qu'une seule colonne soit que les autres colonnes sont multiples de la première.

A partir de la je ne vois toujours pas comment prouvé l'une ou l'autre des implications... Merci de votre aide

[invite26c7b7da]

Je dois rendre l'exo pour demain personne pour un petit coup de pouce ?

[invite4ef352d8]

Salut !


Donc si ce rang est de 1 cela signifie soit qu'il n'y a qu'une seule colonne soit que les autres colonnes sont multiples de la première.>>> oui, ba ca ca signifie exactement que ta matrice s'ecrit comme produit d'un vecteur ligne par le vecteur colone !

tu as toute les colones qui sont multiples de la première colone non nul. ie on à une certain colone V=(Vi) telle que l'element aij de la matrice s'ecrive aij=Cj.Vi, ce qui signifie exactement que la matrice est le produit d'une colone (V) par une ligne (C)...

[invite26c7b7da]

Ha oui ... merci j'ai compris maintenant