0ptimisation

[invitef178151b]

Bonjour!

J'ai de la misère à effectuer ce problème j'ai quelques pistes mais je n'arrive pas à avoir une réponse qui a du bon sens.


Déterminez les volumes maximal et minimal d'une boîte rectangulaire fermée dont la surface mesure 1500 cm² et la somme des longueurs des arêtes,200cm.

Merci de votre aide!

Sébastien
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[martini_bird]

Bonjour,

tu as posé les équations? Que trouves-tu?

[invitef178151b]

4xy + 2 zx=1500

4x + 4y + 4z=200

[invitef178151b]

Je crois que j'ai fais un erreur

2xy + 2xz + 2yz=1500
4x + 4y + 4z = 200

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

Je crois avoir une idée même si l'optimisation, ce n'est pas mon truc...

C'est basé sur les relations coefficients-racines dans un polynôme...

Comme tu sais que x+y+z=50 et que xy+xz+yz= 750, tu peux en déduire que (x,y,z) sont solutions de l'équation.

s^3-50s²+750s-V=0, soit V= s^3-50s²+750s (...)

Arrête-moi si je dis une bêtise...

[martini_bird]

doryphore, je t'arrête!

Plus sérieusement, ta méthode serait très bien si l'on connaissait V... Mais l'idée est peut-être à creuser.

Ceci dit, celà me semble plus long que d'utiliser le théorème des extrema liés (multiplicateurs de Lagrange). Petit rafraîchissement ici.

Cordialement.

[invitef178151b]

Bonjour

J'ai de la misère à comprendre ton raisonnement vers la fin, peux tu me donner plus d'explication.

Merci

[invitef178151b]

Merci Martin

J'ai de la misère à utiliser ton lien, je ne sais pas pourquoi ça ne marche pas

Merci

[invitef178151b]

Je vais essayer avec la méthode de lagrange je crois que c'est une bonne piste.

Merci Martini...

[doryphore]

Ma suggestion ne sert visiblement qu'à obtenir las valeurs possibles de x,y et z si tu connais V.

Si je me souviens bien, les extrema liés sont l'outil à utiliser ici.

avec f(x,y,z) = xyz lié à l'ensemble déterminé par tes équations.

[martini_bird]

Merci Martin

J'ai de la misère à utiliser ton lien, je ne sais pas pourquoi ça ne marche pas

Merci

En effet, ça ne fonctionne plus... J'ai vérifié l'adresse: c'est peut-être leur serveur.

J'ai trouvé ce lien en tapant "extrema local" "lagrange" sous google: tu sais où chercher.

Cordialement.

[invitef178151b]

Penses-tu que c'est possible de résoudre ce problème sans utiliser Lagrange?

Merci!

[invitef178151b]

ca marche pas avec la Lagrande ca me donne des réponses (dimensions) négatives?? pourquoi ?

merci à l'avance

[martini_bird]

Penses-tu que c'est possible de résoudre ce problème sans utiliser Lagrange?

Merci!

En utilisant la méthode de doryphore, ça ne me semble pas faisable...

Je note , et : comme , x, y, et z sont clairement les racines du polynôme . Or, les racines d'un tel polynôme sont exprimables en fonctions des coefficients (mais il faut ramer, avec des racines cubiques...).

Disons que l'on trouve x=f(V), y=g(V) et z=h(V), mais là je ne vois pas comment résoudre le problème...

Il y a peut-être une autre méthode, mais je n'ai pas d'idée pour l'instant.

A+

[invite21126052]

je sais absolument pas si c'est juste, c'est de "l'application directe" à partir de http://ltcconline.net/greenl/courses...iv/LAGRANG.HTM

on cherche à minimiser f(x,y,z)=xy+yz+zx, avec pour contraintes
x+y+z = cte.

on a grad f(x,y,z) = I * grad (x+y+z)

soit <y+z,x+z,x+y> = I * <1,1,1>

d'où y+z = I ,x+z=I ,x+y=I

par substitution, on obtient rapidement x=y, y=z et x=y=z

c'est un cube...
ensuite, on recherche celui qui correspond aux conditions

bon encore une je sais pas du tout si c'est correcte, rigoureux, mais intuitivement ça correpond bien au fait que le volume maximal pour une aire donnée soit un cube....

non?

[invitef178151b]

Cé bon donc on est au même point.

Merci

[martini_bird]

ca marche pas avec la Lagrande ca me donne des réponses (dimensions) négatives?? pourquoi ?

merci à l'avance

Il faut sélectionner les données: si tu n'as pas de triplet (x,y,z) avec x, y et z positifs, je dirais que c'est une erreur de calcul.

Sinon, n'oublie pas que la méthode donne les extrema, sans préciser s'il s'agit de minima ou de maxima!

[doryphore]

C'est f(x,y,z)=xyz qu'il faut minimiser, c'est là que cela cloche à mon avis...

[doryphore]

<yz,xz,xt>=a<y+z,x+z,x+y>+b<1, 1,1> d'après moi ...

donc, 1500=100a+3b et

[invitef178151b]

Merci tout le monde

J'ai réussi à le résoudre avec Lagrange

Sébastien
à la prochaine

[doryphore]

Tu pourrais nous donner ta solution s'il te plaît...

[doryphore]

J'ai aussi 3V=3000a+50b, il ne m'en manque plus qu'une...

[invitef178151b]

Sa prendrait
3 pages juste pour te montrer les réponses

[doryphore]

Pourquoi? tu écris en binaire ???

[invitecceb1161]

Bonjour

On a : x+y+z=50 et xy+xz+yz=750

Donc x(y+z)+yz=750

Donc x(50-x)+yz-750=0

On résouds cette équation où x est inconnue , et on trouve que x_max = 25+(yz-125)^(1/2)

En remplaçant ce x_max dans x+y+z=50

On a : 25+(yz-125)^(1/2)+y+z-50=0

On résouds ceci pour y , et on trouve que :

y_max = f(z) = (1/2)(50-z+(-3z^2+100z-500)^(1/2))

On résouds y_max >= 0

et on trouve que z_max = (10/3)(5+10^(1/2))

après c'est tout facile

[invitecceb1161]

après tu résouds : x+y=A et xy=B
avec A=50-z et B=750-z(50-z)
tu trouves : x(A-x)=B
Donc x²-Ax+B=0
Donc x = (5/3)(10-10^(1/2))
donc y = (5/3)(10-10^(1/2))
et z = (10/3)(5+10^(1/2))
et on a : V_max = ...........

[martini_bird]

Salut,

le volume maximal n'est pas forcément x_maxy_maxz_max...

Cordialement.

[doryphore]

Cela revient à résoudre le système d'équations suivantes (obtenu par les extrama liés) mais je suis un peu rouillé.

xy+xz+yz=750
x+y+z=50
yz=a(y+z)+b
xz=a(x+z)+b
xy=a(x+y)+b

[martini_bird]

Salut,

le volume maximal n'est pas forcément x_maxy_maxz_max...

Cordialement.

Mea culpa, je n'ai rien dit.

Mais ça ne marche que dans ce cas particulier (imaginez qu'à la place du volume on ait une fonction de x, y, z plus compliquée).