Age du capitaine

[pmdec]

C'est un vieux "truc" que j'ai retrouvé, donc probablement "bien connu", mais je n'en trouve pas trace dans le forum, alors voilà :

On suppose qu'on souhaite chaque année un anniversaire en utilisant deux sortes de bougies : des blanches pour les unités et de bleues pour les dizaines (ex : à 26 ans, 2 bleues et 6 blanches, soit 8 bougies).
La famille étant très conservatrice, les bougies sont soigneusement conservées. Malheureusement, elles pâlissent avec le temps et il devient impossible d'en distinguer les couleurs.

Si l'on décompose la valeur de l'âge A (p.ex. 26) en dizaines (d, ici 2) et unités (u, ici 6) on a, évidemment, A = u + 10d. La fonction qui permet de passer de l'âge A (=u+10d) au nombre de bougies dans la boîte est (pour A=26) à la somme 1+2+3+...+9+1 (10ans) +2+...+10+2 (20ans) 3+4+5+6+7+8 (26ans) = 135 bougies.
J'avais trouvé que pour un âge quelconque cette somme est égale à ½(u²+u)+d(5d+u+41). [pour 26 : ½(36+6)+2(10+6+41) = 21+114 = 135].

Mais comment faire l'opération inverse (autrement qu'avec un tableau) à partir du seul nombre N des bougies dans la boîte ?
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[invitedebe236f]

les dizaines
x=ent(nbbou/46)
y=x²*5+41x

si nbbou >= y alors diza= x
sinon ca ce complique
x=x-1
y=x²*5+41x
et on boucle tant que nbbou<y

apres on facilement deduire les unites
pas trouver plus simple

[invitedebe236f]

les dizaine =ENT((RACINE(41*41+20*nbbou)-41)/10)

z=somme de 0 a dizaine
les unites =RACINE(1+8*(nbbou-diz*diz*5-41*diz+z))/2-0,5-diz

[pmdec]

Super !

Et en disant que z=(diz*diz-diz)/2 on peut obtenir une "formule directe" 10diz+u.

On remarque aussi que la somme des chiffres de nbbou est toujours égale à 1, 3, 6 ou 9 et que cette somme forme une suite qui se répète par série de 9 (136163199). Y a-t-il une "explication" ? Comme au fait que le nombre 41 paraît avoir une importance particulière dans ce calcul ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite43f8e83d]

je n'ai pas compris le probleme posé, qui a mon sens, n'a pas été exposé complètement.
Mais si le probleme ce sont les bougies qui se décolorent, ne pourrait-on les repeindre?

[invitedebe236f]

je suis parti de ta formule donc voila pourquoi j utilise 41
(u²+u)=2 x et j ai essaye de trouve u ce qui se voit bien dans mes formule qui sont des solutions d equation 2 degre
5d²+ud+41d=x

[pmdec]

OK, et encore bravo. Perso, je m'étais complètement bloqué en constatant que je ne pouvais pas mettre 10d + u en facteur ...