theoreme intégrabilité Riemann

[st2601]

Bonjour tout le monde, je cherche mais je ne trouve pas l'énoncé et la preuve du théorème sur l'intégrabilité au sens de Riemann des fonctions numériques continues, que je dois connaitre pour une interro.
Pouez-vous m'aider? Merci d'avance.
-----

[Hamb]

qu'est-ce qu'il dit ce théorème ?

[invitef75e4a38]

Il faut utiliser le théorème de Heine et jouer avec les sommes de Darboux.
Donc en gros, faire de l'analyse epsilonnesque...

[st2601]

Il dit que toute foction continues est riemann-integrable...
Mais moi il me faut le theorème précis avec très précisément la démo, pour assurer la question de cours...En cherchant sur google j'ai pas trouvé ce que je voulais alors je pensais que quelqu'un sur le forum aurait ca.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Hamb]

je ne comprends pas vraiment, si le théorème dit que toute fonction continue (continue par morceau ?) est riemann intégrable, n'est-ce pas juste par construction de l'intégrale de riemann ?

[invitef75e4a38]

Et bien f continue sur [a;b] un compact
f est donc bornée ( première condition vérifiée )

Heine nous dit que f est uniformément continue, donc que pour tout e > 0 il existe d > 0 tel |x-y|<d => |f(x)-f(y)|<e pour tout x,y dans [a;b]

On prend un N assez grand tel que (b-a)/N < d
On écrit la subdivision associée à x_k = a + k(b-a)/N

Et on étudie les sommes de Darboux correspondantes.

[invitef75e4a38]

Être intégrable au sens de Riemann, c'est être bornée et avoir les sommes de Darboux supérieures et inférieures qui coïncident.

[Hamb]

mmh je vois, en fait ca ne m'était jamais venu a l'esprit de chercher s'il y a des fonctions riemann intégrables et qui ne sont pas continues par morceaux. Sinon pour en revenir a la démonstration je suis certain que sur google il doit y avoir plein de cours d'université avec la construction del'intégrale de riemann.