Bonjour a tout les matheux,
Je bloque depuis pas mal de temps sur une question, et en plus je sent que c'est pas trop compliqué lol.
Enfin voila c'est ca :
Soit E un ev de dim n qcq. Soit u un endomorpisme nilpotent d'indice p, on pose u^0=id et pt tt p>0 u^p = u°u^(p-1). Mq il existe un vecteur x tel que la famille (x,u(x),...,u^(p-1)(x)) soit libre.
Merci d'avance
Re : Endomorphisme et famille libre...
u^(p-1)<>0 donc il existe x0 dans E tel que u^(p-1)(x0)<>0
Si sigma(i=0->p-1) a_i u^(i)(x0)=0 avec a_i non tous nuls, on considère le plus petit k tel que a_k<>0. On a sigma(i=k_>p-1) a_i u^(i)(x0) =0 donc en composant à gauche par u^(p-1-k), on a
a_ku^(p-1)(x0)+a_k+1 u^p (x0) + ... + a_p-1 u^(2(p-1)-k)(x0)=0.
Comme u^q=0 pour q>=p, cette dernière égalité entraîne a_ku^(p-1)(x0) =0, et comme u^(q-1)(x0)<>0, a_k=0, ce qui est absurde. La famille considérée est donc libre.
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
En fait c'etait pas si simple que je croyais. Mais qu'est ce que je fais en prepa... lol
Merci en tout cas c simpa de ta part de repondre, et si rapidement en plus
Re : Endomorphisme et famille libre...
Je l'avais revu hier ...
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
lol jme disait aussi
Bon d'un autre coté c'est pas sorcier de le trouver ce x.
Tu dois raisonner comme suit :
Faut que je trouve un x, boudiou où je vais le chercher???
Tu réfléchis un peu sur la définition de nilpotent et de l'indice de nilpotence (le p en question) et tu te rends compte que u^p <> 0. Ca veut dire quoi que u^p <> 0, ca veut dire qu'il y a un x non nul(comme de par hasard) avec u^p(x) <> 0. La jolie magie.
Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
