Statistiques (estimateurs) : diverses questions

[invited4b84355]

Bonjour,

Etant toujours en vacances, et ne trouvant pas de réponses à mes questions sur Internet, je viens ici dans l'espoir que quelqu'un puisse m'aider.
J'ai quelques problème en ce moment sur mes cours de statistiques, notamment concernant les estimateur où, je l'avoue, je ne comprends rien du tout...

Donc voici mes questions :
1) Qu'est-ce qu'un estimateur exactement ? Est-ce un nombre ou une fonction ? C'est une notion de base que je n'ai toujours pas saisi.
2) Généralement, on cherche l'estimateur d'un certain paramètre . Qu'est-ce que ?
3) A quoi reconnait-on un estimateur biaisé ? J'ai beau regardé différents exercices que j'ai fait, je n'arrive pas spontanément à dire si tel estimateur est biaisé ou pas (dois-je regarder son espérance ou quelque chose comme ça ?)
4) Qu'est-ce que la vraisemblence ? ...

Voilà, ce sont les points sur lesque je bloque en ce moment.

Je remercie à l'avance celui ou ceux qui me répondront
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[invited4b84355]

Aussi une autre question à laquelle je viens de penser.
Soit :

L'un des estimateurs est

Et on a

Dans ce cas, le biais est , ou ?

[Romain-des-Bois]

Bonjour,

pour te répondre, je te propose de te placer dans un cadre bien précis. Supposons qu'on réalise une expérience dont le résultat X est une variable aléatoire réelle. On peut supposer que cette variable aléatoire est gaussienne par exemple (on pourrait se poser la question de pourquoi elle est gaussienne, mais ce n'est pas le but ici). On sait donc qu'il existe deux paramètres tels que X suit une loi .

Problème : que valent et ?

Réponse : à partir d'un échantillon (n variables aléatoires indépendantes et de même loi que X), on tente d'estimer ces paramètres, c'est-à-dire de trouver des valeurs qu'il est raisonnable de penser qu'elles sont vraies.

Un estimateur de est une fonction qui va de dans .

Un estimateur "naturel" de est la fonction qui à associe la moyenne empirique :


Une propriété intéressante d'un estimateur - qu'on demande souvent - est qu'il soit sans biais. Le biais d'un estimateur d'un paramètre est défini par :


En moyenne, l'estimateur non biaisé va prendre la vraie valeur du paramètre (c'est intéressant).

L'estimateur "moyenne empirique" du paramètre de la loi normale est sans biais (on utilise simplement la linéarité de l'espérance).

Pour la vraisemblance, c'est un peu plus compliqué de te donner une idée intuitive de ce que ça calcule.
Pour faire simple : à un échantillon de loi dont on cherche à estimer le paramètre , on associe une fonction appelée fonction de vraisemblance qui dépend de . La maximiser en fonction de permet de trouver un estimateur intéressant de ce paramètre (estimateur souvent biaisé malheureusement, mais asymptotiquement sans biais (quand ) et qui suit asymptotiquement une loi normale).

Je suppose qu'avec toutes ces informations, tu parviendras à répondre à ta question du message #2.

Romain

[isozv]

Bonsoir,

Je vais répondre à ma manière (sans équations car cela embrouille parfois mais sinon je peux te donner une référence avec des exemples et pleins de calculs):

1) Qu'est-ce qu'un estimateur exactement ? Est-ce un nombre ou une fonction ? C'est une notion de base que je n'ai toujours pas saisi.

C'est principalement une fonction. Mais dans la pratique quant tu connais les valeurs prises par tes variables aléatoires, tu peux les injecter dans la fonction et tu auras alors un nombre

2) Généralement, on cherche l'estimateur d'un certain paramètre . Qu'est-ce que ?

Le cas scolaire typique c'est que est l'espérance ou la variance. Mais dans les cas industriels (loi de Weibull) ou d'économétrie (distribution logistique) il s'agit de déterminer des paramètres qui permettent de construire ses lois (par exemple la loi de weibull à trois paramètres dont on recherche les estimateurs ce qui permet ensuite de calcul l'espérance et la variance).

3) A quoi reconnait-on un estimateur biaisé ? J'ai beau regardé différents exercices que j'ai fait, je n'arrive pas spontanément à dire si tel estimateur est biaisé ou pas (dois-je regarder son espérance ou quelque chose comme ça ?)

En gros, lorsque son espérance n'est pas égale à lui même.

4) Qu'est-ce que la vraisemblence ? ...

C'est l'outil mathématique utilisé pour calculer les estimateur sous l'hypothèse d'un optimum (si je puis dire...) de probabilités.

C'est pas facile comme questions. Pour bien comprendre il faut avoir au moins calculé les estimateurs de 5 lois de probabilités et les avoir mis en pratique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

bonjour,

pour moi un estimateur d'un certain paramètre est une variable aléatoire qui n'est pas fonction dudit paramètre.

un estimateur sans biais est un estimateur dont la moyenne est égale au paramètre.