Spirale logarithmique.

[philname]

Ayant fini les cours il y a 5ans, j'ai oublié grand chose en math.
MAis çà ne m'empêche pas d'être curieux, et de faire quelques calculs basique.

Je suis entrains de m'émerveiller devant les spirales, mais je bloque niveau équation polaire. Que faire avec une équation polaire, comment dresser un tableau avec des valeurs x,y,angles ?
Pourriez-vous m'indiquer les étapes de calculs si l'on possède par exemple l'équation polaire d'une spirale logarithmique ?

Comment construire une spirale personnalisée avec des valeurs bien spécifiques de x,y pour des angles choisis !
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[KerLannais]

Salut,

Une courbe plane est un ensemble de points du plan. Chaque point peut-être identifié, une fois qu'on a choisi un repère à un couple de deux nombres réels appelés coordonnées cartésiennes. Je suppose que tu connais le système de coordonnées cartésien. Il existe d'autres système de coordonnées dans le plan pour repérer les points. Notamment le système de coordonnées polaires. Un point est repéré par sa distance à l'origine du repère et par une direction donnée par l'angle entre le demi axe des abscisses positives et la demi droite . Quand on connaît les coordonnées polaires d'un point on peut retrouver facilement ses coordonnées cartésiennes à l'aide des formules suivantes:


Parfois on utilise ces formules avec qui peut être négatif.
Une spirale logarithmique c'est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées polaires vérifient

avec et des constantes fixées. La constante doit être strictement positive et doit être non nulle. On peut utiliser la définition suivante pour :

En utilisant les formules pour passer en coordonnées cartésiennes on voit que la spirale est l'ensemble des points du plan de coordonnées


pour tout nombre réel . En choisissant diverse valeurs pour on obtient les coordonnées cartésiennes de différents points qu'on peut donc placer et on peut les relier entre eux. Il y a beaucoup de logiciels qui permettent de tracer des courbes paramétrées automatiquement.

Pour faire une spirale personnalisée il faut choisir une fonction croissante qui donne pour un angle la distance d'un point à l'origine. Pour qu'une telle spirale passe par un point de coordonnées et , l'angle vaut forcément l'angle entre le demi-axe des abscisses positives et la demi-droite plus un certain nombre de tours qu'on a choisi. La distance est alors donnée par la formule:

Il faut donc que . Cela fixe une valeur de la fonction. Si on veut que la spirale soit du type logarithmique, il faut déterminer les contantes et dans l'équation que j'ai donné à l'aide de plusieurs points par lesquels on veut que la spirale passe. Mettons qu'on veuille que la spirale passe par les points de coordonnées et avec les angles et alors il faut résoudre les deux équations


ce qui n'est pas toujours facile.