simplifier une expression

[ibtihel]

bonjour
je suis nouveau sur cette rubrique .......
X=a*sin(wt) ...... (1)
Y=b*sin(wt+phi) ..... (2)
(X/a)²+(Y/b)² -2*(X/a)*(Y/b)*cos(phi) ...... (3)
peut on trouver une simplification de (3) en fonction uniquement de "phi",sans avoir recourt à de longue calcule ??!
merci pour vos idées .
@+
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[NicoEnac]

Bonjour,

Sans avoir recourt à de longs calculs ? Sans utiliser au moins la formule de trigo sin(a+b) = ..., je ne vois pas comment simplifier (3).

Une "astuce" serait peut-être d'écrire (X/a)2+(Y/b)2 -2*(X/a)*(Y/b)*cos(phi) = (X/a - Y/b)² + ... en complétant pour que l'égalité soit mais je ne sais pas si ça raccourcit tant que cela

[ibtihel]

bonsoir
merci NicoEnac.

Sans utiliser au moins la formule de trigo sin(a+b) = ..., je ne vois pas comment simplifier (3).

je pense qu'avant de dévelloper sin(a+b) ,il vaut mieux remplacer sin(a+b)² par [1-cos2(a+b)]/2 pour le terme (Y/b)²
à votre avis , cà serai + simple ??

Une "astuce" serait peut-être d'écrire (X/a)2+(Y/b)2 -2*(X/a)*(Y/b)*cos(phi) = (X/a - Y/b)² + ... en complétant pour que l'égalité soit mais je ne sais pas si ça raccourcit tant que cela

bonne idée mais le cos(phi) cause un pb !!
merci .
A+

[ericcc]

Pose x=X/a et y=-Y/b, et utilise un diagramme de Fresnel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ibtihel]

bonjour

Pose x=X/a et y=-Y/b, et utilise un diagramme de Fresnel.

merci ericc ,.......
mais je dois utilisé les formules trigo.
çà doit aboutir vers une courbe de Lissajous (ellipse oblique) .
si vous connaissez des liens,je suis preneur .
merci encore .
A+

[ericcc]

Il y a surement plus simple et plus élégant, mais voici une solution, en posant x=X/a et y=Y/b, et en notant phi=f

En développant l'écriture de y, on trouve y=xcos(f)+cos(wt)sin(f)
D'où
y²=x²cos²(f)+cos²(wt)sin²(f)+2 xcos(wt)cos(f)sin(f) et
xy=x²cos(f)+xcos(wt)sin(f)
xycos(f)=x²cos²(f)+xcos(wt)sin (f)cos(f)

Alors x²+y²-2xycos(f)=x²+x²cos²(f)+cos²(wt )sin²(f)+2xcos(wt)cos(f)sin(f)-2x²cos²(f)-2xcos(wt)sin(f)cos(f)
qui se simplifie en
x²-x²cos²(f)+(1-x²)sin²(f)=sin²f

[ibtihel]

bonsoir

Il y a surement plus simple et plus élégant, mais voici une solution, en posant x=X/a et y=Y/b, et en notant phi=f

En développant l'écriture de y, on trouve y=xcos(f)+cos(wt)sin(f)
D'où
y²=x²cos²(f)+cos²(wt)sin²(f)+2 xcos(wt)cos(f)sin(f) et
xy=x²cos(f)+xcos(wt)sin(f)
xycos(f)=x²cos²(f)+xcos(wt)sin (f)cos(f)

Alors x²+y²-2xycos(f)=x²+x²cos²(f)+cos²(wt )sin²(f)+2xcos(wt)cos(f)sin(f)-2x²cos²(f)-2xcos(wt)sin(f)cos(f)
qui se simplifie en
x²-x²cos²(f)+(1-x²)sin²(f)=sin²f

humm,donc toute l'astuce est de remplacer le sin(wt) (qui est X/a) dans le terme y (Y/b) et evité trop de calcul .
c'est pas trop long merci pour l'astuce
ericc c'est le résultat voulu .
je retourne d'ou je viens rubriques (électronique et dépannage) .....
merci encore au mathématicien .........