Loi uniforme continue (calcul de la fonction de répartition)

Bartolomeo · 25/06/2009 - 22h41

Salut,

la densité de probabilité pour la loi uniforme continue est:
$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & \ \ \ \mbox{pour }a \leq x \leq b, \\ \\ 0 & \mathrm{sinon}. \end{matrix}\right.$

La fonction de répartition est donné par:
$F(x)= \begin{cases} 0 & x < a\\ \frac{x-a}{b-a} & a \le x < b\\ 1 & x\ge b \end{cases}$

Je comprends que pour le cas $x\ge b$ la probabilité doit être égale à 1, mais mathématiquement je ne tombe pas dessus:
Si j´intègre la fonction de densité pour $x\ge b$ j´obtiens:
$ F_{y}(y) = \int_{b}^{y=\infty} \frac{1}{b-a} I_{[a,b]}(z) dz\, = [\frac{z}{b-a}I_{[a,b]}(z)]^{y}_{b} \, = \frac{-b}{b-a}\! $

Où est mon erreur?

HigginsVincent · 26/06/2009 - 09h37

Il y a une discontinuité en x=b, moi j'aurais dit que ça fait 0 tout rond.
La probabilité qui vaut 1, c'est P(X < c) pour tout c > b...

Romain-des-Bois · 26/06/2009 - 11h22

Envoyé par Bartolomeo

Où est mon erreur?

$ \lim_{y \to \infty} F(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{b-a} I_{[a,b]}(z) dz\, = \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a} dz \, = 1 $

Bartolomeo · 26/06/2009 - 12h02

salut,

$F_x(c)=P(X < c)$ pour tout c > b
C´est pourtant bien l´intégrale que j´ai fait? Sauf que je n´ai pas pu prouver que ce soit égale à 1 pour c>b.

Romain, je ne comprends pas trop ton calcul (surtout la forme) et où se trouve mon erreur finallement. Si je comprends bien tu integres sur tout l´intervalle en faisant tendre y vers l´infini. Or même sans faire tendre y vers l´infini cela devrait être égale à 1.
Je ne connais pas cette méthode, moi je connais celle-ci:
Puisque qu´on exclut y de [a, b) on commence à intégrer à partir de b
$ \lim_{y \to \infty}F_{y}(y) = \int_{b}^{y} \frac{1}{b-a} I_{[a,b]}(z) dz\, $
Ce qui ne donne pas le résultat (à moins d´une erreur de calcul!?!), donc où est l´erreur de raisonnement?

Romain-des-Bois · 26/06/2009 - 12h17

Je ne comprends pas bien...

Reprenons à partir du début :

Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ et de fonction de répartition $F$ .

On a, pour tout $x\in \mathbb{R}$
$P(X \leq x) = F(x) = \int_{-\infty}^x f(u) du$

Ici la densité est définie par morceaux, mais ça ne change rien : $f$ est non nulle sur $[a,b]$ , soit $x \geq b$ alors :

$P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(u) du = \int_{a}^b f(u) du$

C'est plus clair ?

Bartolomeo · 26/06/2009 - 12h44

Envoyé par Romain-des-Bois

C'est plus clair ?

Il me semble. Déjà merci pour ton aide!

Envoyé par Romain-des-Bois

On a, pour tout $x\in \mathbb{R}$

En fait je pensais que si je voulais avoir la fonction de répartition pour tout x>=b j´étais obligé d´intégrer la densité que à partir de b. Ce qui est faux n´est ce pas?

Romain-des-Bois · 26/06/2009 - 14h15

Envoyé par Bartolomeo

Ce qui est faux n´est ce pas?

Oui.

Je voulais préciser également cela : généralement, quand il y a plusieurs variables aléatoires dans un problème (par exemple $X$ et $Y$ ) on note (parfois) $F_X$ la fonction de répartition de $X$ (idem pour $Y$ bien sûr). La notation $F_y(y)$ ne veut pas dire grand chose.

bon courage pour la suite