series entieres

StrAbZ · 02/05/2005 - 15h51

Je fais un peu remonté un vieux sujet, mais je revise avec r-one, donc on a bloqué tt les deux sur l'exo, j'ai posté aussi ce sujet sur un autre forum, et il semble que les reponses different legerement.

on me propose pour la serie entiere

avec E(k/2) + 1 dans la somme.

et pour :

la meme chose plus E(n/3) + 1

martini_bird · 02/05/2005 - 16h12

Salut,

j'ai vérifié mes calculs, ma formule est correcte (sauf si je me suis trompé

).

Il faut être soigneux, mais il n'y a pas de difficulté conceptuelle: il suffit d'appliquer la règle pour le produit de deux séries.

Cordialement.

matthias · 02/05/2005 - 16h26

Envoyé par martini_bird

$\left(\sum_{n\geq 0}u^n\right)\left(\sum_{n\geq 0}u^{2n}\right)\left(\sum_{n \geq 0}u^{3n}\right)$

On est d'accord.

Envoyé par martini_bird

$\left(\sum_{n\geq 0}u^n\right)\left(\sum_{n\geq 0}u^{2n}\right)= \sum_{n\geq 0}\left(\sum_{\stackrel{k=0}{k \;\;pair}}^n1\right)u^n= \sum_{n\geq 0}\left[\frac{n}{2}\right]u^n$

Il me semble que :
$\displaystyle \sum_{\stackrel{k=0}{k\;\;pair }}^n1 = E \left( \frac{n}{2}\right) + 1$

Envoyé par martini_bird

$\left(\sum_{n\geq 0}\left[\frac{n}{2}\right]u^n\right)\left(\sum_{n\geq 0}u^{3n}\right)=\sum_{n\geq 0}\left(\sum_{\stackrel{k=0}{n-k\equiv 0 \;mod \;3}}^n\left[\frac{n}{2}\right]\right)u^n$

J'ai donc:
$\sum_{n\geq 0}\left(\sum_{\stackrel{k=0}{n-k\equiv 0 \;mod \;3}}^n\left(E \left(\frac{k}{2}\right) +1 \right) \right) u^n$

Envoyé par martini_bird

$\alpha_n=\sum_{k=0}^{[n/3]}\left[\frac{n-3k}{2}\right]$

Ce qui donnerait:
$\alpha_n=\sum_{k=0}^{[n/3]}\left[\frac{n-3k}{2}\right]+ E \left( \frac{n}{3} \right) +1$

Il est tout à fait possible que je me trompe. Si c'est le cas pouvez-vous me dire où et pourquoi ?

martini_bird · 02/05/2005 - 16h35

Tu as raison, matthias.

Envoyé par martini_bird

Salut,

j'ai vérifié mes calculs, ma formule est correcte (sauf si je me suis trompé

).

Je me suis trompé.

Envoyé par martini_bird

Il faut être soigneux, mais il n'y a pas de difficulté conceptuelle: il suffit d'appliquer la règle pour le produit de deux séries.

Pour le soin, je repasserai!

A+

PS: Il n'y a pas de smiley avec un bonnet d'âne...

matthias · 02/05/2005 - 16h41

Envoyé par martini_bird

Tu as raison, matthias.

Je n'étais pas vraiment sûr...

Envoyé par martini_bird

PS: Il n'y a pas de smiley avec un bonnet d'âne...

Aucune raison, c'est en essayant de comprendre tes calculs quand la question est apparue sur un autre forum que j'ai été étonné de trouver un résultat légèrement différent.

Sinon je me suis amusé à calculer les coefficients $\alpha_n$ , je ne suis pas sûr que ce soit utile, ça donne un truc assez ignoble, mais je vais le poster pour avoir un avis.

matthias · 02/05/2005 - 17h01

On a donc:
$\displaystyle \alpha_n= \sum_{k=0}^{E\left( \frac{n}{3} \right) } E \left( \frac{n-3k}{2} \right) +E \left( \frac{n}{3} \right) +1$

En utilisant:
$\displaystyle E\left(\frac{n-3k}{2}\right) + E\left(\frac{n-3(k+1)}{2}\right)=n-3k-2$

Je trouve ce truc ignoble:
$\displaystyle \alpha_n = \frac{1}{2} E \left( \frac{n}{3} \right) \left[ n- \frac{3}{2} E \left( \frac{n}{3} \right) + \frac{3}{2} \right] + \frac{1}{2} E \left( \frac{n-3 E \left( \frac{n}{3} \right) }{2} \right) + \frac{1}{2} E \left( \frac{n}{2} \right) + 1$

Et comme je n'avais vraiment rien à faire, j'ai poussé un peu plus loin:
$\displaystyle n \equiv 0 \; [6] \Longrightarrow \alpha_n = \frac{n^2 +6n +12}{12}$
$\displaystyle n \equiv 1 \; [6] \Longrightarrow \alpha_n = \frac{n^2 +6n +5}{12}$
$\displaystyle n \equiv 2 \; [6] \Longrightarrow \alpha_n = \frac{n^2 +6n +8}{12}$
$\displaystyle n \equiv 3 \; [6] \Longrightarrow \alpha_n = \frac{n^2 +6n +9}{12}$
$\displaystyle n \equiv 4 \; [6] \Longrightarrow \alpha_n = \frac{n^2 +6n +8}{12}$
$\displaystyle n \equiv 5 \; [6] \Longrightarrow \alpha_n = \frac{n^2 +6n +5}{12}$

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