Mathématiques/realité, pourquoi tant de différences ?

[Tom_skywalker]

Ben oui voila c'est dans le titre,
comment expliquer tant de différences entre la théorique mathématique et la réalité? Je viens de lire l'article sur le paradoxe de Banach-Tarski, on peut facilement démontrer que pi n'est plus égal à 3.14.. maisà 2, et plein d'autre pardoxes avec des suites quand n est "egal" à l'infiini ...
Les maths sont ils vraiment déconectés de la réalité?

[matthias]

Ben oui voila c'est dans le titre,
comment expliquer tant de différences entre la théorique mathématique et la réalité? Je viens de lire l'article sur le paradoxe de Banach-Tarski, on a démontré en cours que pi etait égal a 2, et plein d'autre avec des suites quand n est "egal" à l'infini ...

Pour ce qui est de Banach-Tarski, j'imagine que le paradoxe vient juste du fait que les opérations réalisées ne correspondent pas à ce que l'on peut physiquement faire avec de la matière (autrement dit : le modèle de la matière continue et indéfiniment divisible est physiquement faux). Ce n'est pas une différence entre théorique mathématique et réalité, c'est un mauvais choix de modèle quand on essaie de transcrire ça en physique.
Enfin bon je suis pas un spécialiste de Banach-Tarski, j'imagine que d'autres auront des explications plus exactes.

Pour le reste je demande à voir...

[erik]

Générallement on pose plutot la question : pourquoi les mathématiques sont elles tellement efficaces ?
Le paradoxe Banach-Tarski est plutot déroutant ok avec toi mais sinon je vois peu de problèmes.

on peut facilement démontrer que pi n'est plus égal à 3.14.. maisà 2

Là je ne voit pas du tout de quoi tu veux parler (à moins que tu ne te place pas dans un espace euclidien, mais dans ce cas je ne vois pas ou est le problème).

plein d'autre pardoxes avec des suites quand n est "egal" à l'infiini ...

pas mal d'anciens paradoxes où intervenait l'infini n'étaient en fait du qu'a des "mauvaises interprétations/représentations" de l'inini et ne sont plus du tout considéré comme des paradoxes aujourd'hui, penses tu à quelque chose de particulier ?

Erik

[Sephi]

Ouais, y a le paradoxe de Zénon qui se profile à l'horizon, là ... un faux paradoxe.

Pour pi=2 ou n'importe quoi d'autres, faut ptêt préciser le contexte dans lequel a été fait le calcul ... genre moi, je peux démontrer que pi=4, mais dans une géométrie précise, différente de la géométrie classique ...

[Tom_skywalker]

Je vous montre sa. 2min

[Tom_skywalker]

Soit un demi cercle C de rayon 1 de diametre 2 c'est important )

On divise a chaque fois le rayon en deux et on obtient 2 demi cercles plus petits par grand demi cercle (voir fichier attaché). Et ceci à l'infini.

Soit Ln la suite des longueurs totales des demi cercles au fur et a mesure des divisions successive, et An la suite de la somme des aires dans les demi cercles.
L0 = 1/2 2pi R = 1 pi = pi
L1 = 2 * pi * 1/2 = pi
L2 = 4 * pi * 1/4 = pi
L3 = 8 pi *1/8 = pi

On s'appercoit assez vite qu'elle est constante. Donc
Lim (Ln) = Pi
n=>∞

A0 = 1/2 pi R² = pi/2
A1= 2* 1/2 pi (1/2)²= pi/4
A2 = 4*1/2pi * (1/4)²= pi/8
A3 = 8* 1/2 pi * (1/8)²= pi/16

Suite géométrique de raison 1/2, donc
lim (An) = 0
n=>∞

Donc apres une infinité de division, on trouve que le volume des arcs est nul. Puisque qu'il n'y a pas d'espace entre les arcs et le diametre, lesarcs ont la meme longueur que le rayon: pi = 2.

Mais en fait ma question etait un peu mal posée, je voulais plutot savoir si on pouvait tout démontrer par les mathématiques.

[Lord]

Ca tend vers la philo ta question là

[matthias]

Puisque qu'il n'y a pas d'espace entre les arcs et le diametre, lesarcs ont la meme longueur que le rayon: pi = 2.

Il y a juste un petit problème, cette conclusion est fausse.

[erik]

Le raisonnement est faux lorsque tu dis

Puisque qu'il n'y a pas d'espace entre les arcs et le diametre, lesarcs ont la meme longueur que le rayon

Il y'a toujours un espace entre les arcs et le diamètre. Certe cet espace peut être aussi petit que l'on veut, c'est ce que veut dire lim (An) = 0 : l'espace peut être aussi petit que l'on veut, mais y'en a un.

Erik

[erik]

je voulais plutot savoir si on pouvait tout démontrer par les mathématiques.

La réponse est définitivement non.
1/ une propriété fausse n'est pas démontrable (on ne peut pas démontrer "1>2" ou "42 est un nombre premier")
2/ On sait depuis Godel qu'il existe des propriétés mathématiques que l'on ne peut pas (et on ne pourra jamais) démontrer.

Erik

Erik

[Tom_skywalker]

Le raisonnement est faux lorsque tu dis
Il y'a toujours un espace entre les arcs et le diamètre. Certe cet espace peut être aussi petit que l'on veut, c'est ce que veut dire lim (An) = 0 : l'espace peut être aussi petit que l'on veut, mais y'en a un.

Erik

On peut dire que lorsque n tend vers l'infini pi tend vers 2 ?

"2/ On sait depuis Godel qu'il existe des propriétés mathématiques que l'on ne peut pas (et on ne pourra jamais) démontrer."
Interressant sa, je vais me renseigner.

[matthias]

On peut dire que lorsque n tend vers l'infini pi tend vers 2 ?

Non. Le problème est difficile à exprimer avec des termes simples. En gros tu as construit une suite de fonction qui converge vers une fonction constante. Ce qui est un critère trop faible pour affirmer que la suite des longueurs associée converge vers la longueur du segment de droite.
En fait ta construction en est justement un contre-exemple.

[Tom_skywalker]

J'ai vu quelques part que les résonnement de ce type etait faux pour plusieurs raisons:
_deja pour qu'il soit correct il faudrait que n = infini ce qui est peux probable, c'est à dire qu'une fonction géometrique amene à 0, ce qui est impossible avec une raison differente de 0.
_Aussi, et la je comprend moins, car on ne peux diviser une entité finie en une infinité de sections (histoire de la fleche qui parcourt la moitié du chemin mais qui n'arrive jamais).

Euh sinon j'aimerai bien quelques petits exemple sur Godel

[matthias]

J'ai vu quelques part que les résonnement de ce type etait faux pour plusieurs raisons:
_deja pour qu'il soit correct il faudrait que n = infini ce qui est peux probable, c'est à dire qu'une fonction géometrique amene à 0, ce qui est impossible avec une raison differente de 0.
_Aussi, et la je comprend moins, car on ne peux diviser une entité finie en une infinité de sections (histoire de la fleche qui parcourt la moitié du chemin mais qui n'arrive jamais).

C'est un peu plus compliqué que cela. On peut utiliser des raisonnements parfaitement valides en faisant tendre l'indice d'une suite vers l'infini, mais il faut le faire de manière rigoureuse. Tu as le temps de voir ça.
Pour le paradoxe de Zénon (l'histoire de la flèche), le problème n'est pas de diviser une entité finie en une infinité de sections, ça c'est possible en mathématiques. Il y a déjà des fils qui parlent de ce problème je crois ...

[esboy]

Ouais, y a le paradoxe de Zénon qui se profile à l'horizon, là ... un faux paradoxe.

(histoire de la fleche qui parcourt la moitié du chemin mais qui n'arrive jamais).

cet homme voit l'avenir!