Tribu et parties d'un ensemble

[Bruno0693]

Bonjour,

Soit E un ensemble. D'après ce que j'ai lu, dans mon cours, de la définition d'une tribu, l'ensemble P(E), des parties de E, est toujours une tribu, appelée tribu discrète.

Donc, si E = R, ensemble des réels, alors P(R) est bien une tribu.

Donc, pourquoi, dans la théorie de la mesure et dans les Probabilités, a-t-on besoin de faire intervenir la tribu des boréliens B(R), à savoir la tribu engendrée par les ouverts de R ? Pourquoi ne nous contentons nous pas de travailler sur P(R) directement ?

Merci d'avance pour vos réponses.

[g_h]

Une réponse qui vaut ce qu'elle vaut (peut être pas grand chose) :
quelle est la mesure de l'intervalle [1,2] si tu définis ta mesure par rapport à la tribu discrète ?

[invite986312212]

je dirais ceci: la théorie de la mesure a été créée pour donner un cadre à une théorie de l'intégrale qui soit satisfaisante. La théorie classique (de Riemann) n'était pas satisfaisante parce que les espaces de fonctions intégrables n'y sont pas complets (informellement: une suite de fonctions Riemann-intégrables peut converger vers une fonction qu'on ne peut pas intégrer). Maintenant, en créant une nouvelle théorie de l'intégration, on a voulu récupérer les résultats classiques, c'est comme la compatibilité ascendante des versions successives des logiciels. Il fallait donc que les fonctions Riemann-intégrables soient Lebesgue-intégrables, d'où l'idée de travailler sur une tribu incluant les intervalles (pour récupérer les fonctions continues). Par ailleurs, dans la nouvelle théorie, il faut pouvoir calculer l'intégrale de toute fonction mesurable, et donc on n'a pas intérêt à considérer une tribu trop grande (comme P(R)) parce qu'il faudrait alors pouvoir donner un sens à l'intégrale de fonctions dites "pathologiques", i.e. très éloignées de la notion intuitive de fonction dont on peut dessiner le graphe.
Il se trouve que la tribu de Borel est un poil trop petite, mais en la complétant pour obtenir la tribu de Lebesgue on a juste ce qu'il faut (des espaces complets et un moyen pratique de calculer les intégrales: essentiellement le théorème de convergence monotone)

tu remarqueras qu'on peut dire des choses analogues sur la topologie: on pourrait ne considérer sur R que la topologie P(R), auquel cas toutes les fonctions seraient continues, et donc la notion de fonction continue perdrait son sens.

[Ising]

Donc, pourquoi, dans la théorie de la mesure et dans les Probabilités, a-t-on besoin de faire intervenir la tribu des boréliens B(R), à savoir la tribu engendrée par les ouverts de R ? Pourquoi ne nous contentons nous pas de travailler sur P(R) directement ?

Parce que P(R) est beaucoup trop grand. Sur P(R), la mesure de Lebesgue n'est pas une mesure. Il existe des ensembles E dans P(R) dont tu ne peux pas déterminer la valeur de m(E) sans violer un des axiomes des mesures.

A+

Ising

[invite986312212]

je ne suis pas d'accord avec Ising: il existe des mesures sur P(R), ne serait-ce que la mesure nulle, ou la mesure égale à +infini sur toute partie non vide de R. On peut même prolonger la mesure de Lebesgue à P(R) et ainsi, pour répondre à g_h, la mesure de [1,2] serait encore 1. On peut aussi étendre la mesure de Lebesgue sur (R^2,B(R^2)) à (R^2, P(R^2)), mais on ne peut plus le faire pour R^3. C'est dû à la structure du groupe des isométries dans R^3, la mesure de Lebesgue étant définie comme mesure invariante par les isométries.

[Ising]

je ne suis pas d'accord avec Ising: il existe des mesures sur P(R), ne serait-ce que la mesure nulle, ou la mesure égale à +infini sur toute partie non vide de R. On peut même prolonger la mesure de Lebesgue à P(R) et ainsi, pour répondre à g_h

Attention. Je n'ai pas dit qu'il n'existait pas de mesures sur P(R) (edit: ou je n'ai pas été très clair dans ma formulation, c'est un peu ambigu...). Simplement, j'ai dit que la mesure de Lebesgue ne peut justement pas être prolongée à P(R) de manière consistante avec la définition d'une mesure. Je ne l'ai pas précisé, mais il faut faire l'hypothèse de l'axiome du choix, mais bon... Mediat semble être en vacances

Simplement, si tu fais l'hypothèses suivantes:
- m est une mesure sur P(R)
- sur les ensembles borel-mesurables, m coincide avec la mesure de Lebesgue
- m est invariante par translation
alors tu peux construire un ensemble V, l'ensemble de Vitali, tel que , c'est à dire une contradiction, parce que soit m(V) est non nul, et la borne supérieure est violée, soit m(V) est nul et la borne inférieure est violée.

Donc, si tu veux étendre la mesure de Lebesgue à P(R), tu obtiendras une mesure qui n'est pas invariante par translation, ce qui, tu le conviendras, n'est pas un très bon candidat pour être une mesure de Lebesgue ...

Pour plus de détails, cfr:
http://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set
http://en.wikipedia.org/wiki/Banach%...Tarski_paradox
http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure

A+

Ising

ps: au passage, tu pourrais en dire plus sur cette distinction qui arrive avec R³, ça m'intéresse assez bien...

[Médiat]

Salut Ising,

Mediat semble être en vacances

Je sévis encore (sur des sujets entre mathématique et épistémologie).


Pour le sujet courant, quand j'ai voulu répondre, ambrosio l'avait déjà fait .

Quant au lien mesure/axiome du choix : voir le paradoxe de Banach-Tarski.

[invite986312212]

bon, je sous-estimais Ising...

en fait je me souvenais mal de ce problème de la "mesure universelle". Cette question s'est posée avant que la notion moderne de mesure ne soit dégagée, et notamment on s'intéressait à des mesures finiment additives, et non pas sigma-additives. La question était de trouver une "mesure universelle" prolongeant la mesure ordinaire, celle donnée par le produit des longueurs des arêtes pour un (hyper)parallèlépipède. donc on peut motrer que c'est possible dans R et R^2, mais pas à partir de 3 dimensions.
La question du groupe des déplacements est bien expliquée ici: wolfweb.unr.edu/homepage/alex/coll/btarnotes.pdf

pour l'ensemble de Vitali, effectivement il prouve que la mesure de Lebesgue ne peut pas être étendue à P(R). Il n'est pas un contre-exemple pour une mesure finiment additive (mais ce n'était pas la question, c'est vrai).

pour revenir à la question initiale, la meilleure réponse il me semble, c'est qu'on veut construire une mesure sur un certain ensemble de parties de R qui généralise la traditionnelle longueur des intervalles. Le théorème d'extension (de Caratheodory) montre qu'il existe une extension unique sur la tribu engendrée par l'ensemble des intervalles ouverts. Au-delà, on n'a pas de résultat d'existence (contre-exemple fourni par Ising) ni d'unicité (contre-exemple?)

[ichigo01]

je dirais ceci: la théorie de la mesure a été créée pour donner un cadre à une théorie de l'intégrale qui soit satisfaisante. La théorie classique (de Riemann) n'était pas satisfaisante parce que les espaces de fonctions intégrables n'y sont pas complets (informellement: une suite de fonctions Riemann-intégrables peut converger vers une fonction qu'on ne peut pas intégrer). Maintenant, en créant une nouvelle théorie de l'intégration, on a voulu récupérer les résultats classiques, c'est comme la compatibilité ascendante des versions successives des logiciels. Il fallait donc que les fonctions Riemann-intégrables soient Lebesgue-intégrables, d'où l'idée de travailler sur une tribu incluant les intervalles (pour récupérer les fonctions continues). Par ailleurs, dans la nouvelle théorie, il faut pouvoir calculer l'intégrale de toute fonction mesurable, et donc on n'a pas intérêt à considérer une tribu trop grande (comme P(R)) parce qu'il faudrait alors pouvoir donner un sens à l'intégrale de fonctions dites "pathologiques", i.e. très éloignées de la notion intuitive de fonction dont on peut dessiner le graphe.
Il se trouve que la tribu de Borel est un poil trop petite, mais en la complétant pour obtenir la tribu de Lebesgue on a juste ce qu'il faut (des espaces complets et un moyen pratique de calculer les intégrales: essentiellement le théorème de convergence monotone)

tu remarqueras qu'on peut dire des choses analogues sur la topologie: on pourrait ne considérer sur R que la topologie P(R), auquel cas toutes les fonctions seraient continues, et donc la notion de fonction continue perdrait son sens.

Meeeerrrrccciii !