théorie des groupes

inviteff82db75 · 19/04/2005, 10h06

Soit G un groupe fini. On définit $\text{[math]}$ . Supposons que n et |G| sont copremiers. On veut montrer que $\text{[math]}$

Il est facile de montrer que $\text{[math]}$ en utilisant le fait qu'il existe des entiers a et b tel que an + b|G| = 1. Mais je ne suis pas capable de montrer qu'on a l'égualité.

Merci de votre aide.

**martini_bird** · 19/04/2005, 10h15

Salut,

une démonstration par l'absurde me semble plus simple: s'il existait deux éléments distincts h₁ et h₂ tels que h₁ⁿ=h₂ⁿ=g, que peut-on dire de h₁h₂^-1?

Cordialement.

inviteff82db75 · 19/04/2005, 14h59

Désolé de vous déranger encore, mais je ne vois toujours pas ma solution. J'ai l'impression que je suis supposé voir que $\text{[math]}$ mais je ne vois toujours pas pourquoi.

merci

**martini_bird** · 19/04/2005, 19h28

Salut,

comme h₁ est distinct de h₂, n>1. Or celà peut-il être compatible avec le fait que n et |G| sont premiers entre eux?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Gwyddon** · 19/04/2005, 19h50

salut matthias,
je trouve ce petit exercice très sympathique et j'ai donc décidé de le faire. Je comprend ta démarche, mais il y a un hic : pour que $\text{[math]}$ ne faut-il pas que l'on suppose G abélien ? Parce qu'avec cette hypothèse supplémentaire, pas de problème. Mais le résultat demandé doit être vrai sans ça, et je ne vois pas comment prouver le résultat ci-dessus, sans supposer G abélien

@+

**martini_bird** · 19/04/2005, 20h10

Salut,

tu as raison Julien: j'ai supposé que h₁ et h₂ commutent.

Reprenons: nous avons deux éléments distincts h₁ et h₂ tels que h₁ⁿ =h₂ⁿ(=g).

Puisque n et |G| sont premiers entre eux, il existe deux entiers a et b tels que an=1-b|G|. Ainsi: h₁^an =h₂^an et h₁^1-b|G| =h₂^1-b|G|. Or l'ordre d'un élément divise |G|, donc (h₁^-1)^b|G| =(h₂^-1)^b|G|=e et finalement la contradiction h₁=h₂.

J'ai bon?

**Gwyddon** · 19/04/2005, 21h35

yes !

Super comme démo

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