pb sur ln ete xp

[hammer313]

Bonjour jai un dm sur le log et expo mais certaines questions me posent problemes
On considere la fonction definie par g sur ]-1; +[smb]infini[/smb][ par g(t)=1/(1+t) - ln(1+t)
3a) démontrer que la fonction est strictement décroissante sur
]0;+[smb]infini[/smb][.
ca c'est fait
b) en déduire le signe de g(t) lorsque t>0
la je en vois pas!


4a) calculer f'(x) sachant que f(x)=e(-x)ln(1+e(x)), et exprimer en fonction de g(e(x))
alors f'(x)= -e(-x)*ln(1+e(x)) + e(-x)*( e(x)/(1+e(x) )
mais je n'arrive pas a simplifier.

aidez moi svp
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[invite8cc9db4e]

3a) démontrer que la fonction est strictement décroissante sur
]0;+[smb]infini[/smb][.
ca c'est fait
b) en déduire le signe de g(t) lorsque t>0
la je en vois pas!

Tu as

et


Si ta fonction est bien strictement décroissante sur cet intervalle, ce que je n'ai pas vérifé, cela signifie qu'elle prend toutes les valeurs de lorsque x décrit R+*
Combien de fois g(x) change-t-il de signe ? Faire un dessin très simples à main levée te donnerait la réponse.
Il existe une valeur particulière de x (à ne pas déterminer numériquement), telle que g(x)=0 donc....

alors f'(x)= -e(-x)*ln(1+e(x)) + e(-x)*( e(x)/(1+e(x) )
mais je n'arrive pas a simplifier.

Tu as arrêté sur le plus facile il me semble
f'(x)= -e(-x)*ln(1+e(x)) + e(-x)*( e(x)/(1+e(x) )
=e(-x)*[ ( 1/(1+e(x) ) - ln(1+e(x))]
=e(-x)*g(e(x))

Pour la suite :
Sachant que tu as déjà étudié g(x), tu ne devrais pas éprouver de grosses difficultés à étudier f'.
En particulier, le signe de g est déduit de la question précédente. En multipliant pas e(-x), on ne change pas grand chose... On a donc très facilement le signe de f'(x) puis les variations de f.