modules de complexes (inégalité triangulaire)

[adrislas]

Bonjour,

j'aimerais savoir comment on démontre que |z+z'| est inférieur ou égal |z| + |z'|

merci de votre aide

[Antikhippe]

C'est une inégalité triangulaire, donc c'est une démo semblable à celle des côtés d'un triangle, par exemple...

[GuYem]

Si tu ne veux pas voir ça géometriquement, tu poses , tu calcules et tu vois bien ce que ça donne.

[adrislas]

bah ouais, mais comment on prouve que Racine de ( a²+b² ) + racine de (a'²+b'² ) est supérieur à racine de ( ( a+a' )² + ( b+b' )² ) ?

[matthias]

En une ligne, c'est un peu indigeste ...

[adrislas]

ah ouais quand même. Bon bah vu que mon prof n'a pas fait cette démo là, j'imagine : soit que c'est admis, soit qu'il y a une manière plus simple de le prouver

[matthias]

Je l'ai écrit de manière très indigeste, mais si tu regardes en détail, tu verras qu'il n'y pas de grosse difficulté. On peut faire l'équivalent avec la proposition de GuYem.
Tu verras notamment que la seule inégalité à montrer est:

que j'ai appliqué ici à

[ssg]

voici ma démo.
On part de l'inégalité Re(zz'*) <= |zz'*|=|z|.|z'*|=|z|.|z'|
Re(zz'*) <= |z|.|z'| <==> (zz'* + z*z')/2 <= |z|.|z'|
<==> zz'* + z*z' <= 2|z|.|z'|
<==> |z|² + zz'* z*z' + |z'|² <=> |z|² + 2|z|.|z'| + |z'|²
<==> zz* zz'* + z*z' + z'z'* <==> (|z| + |z'|)²
<==> (z + z').(z* + z'*) <==> (|z| + |z'|)²
<==> |z + z'|² <==> (|z| + |z'|)²
<==> |z + z'| <==> |z| + |z'|
CQFD.

[ssg]

voici ma démo.
On part de l'inégalité Re(zz'*) <= |zz'*|=|z|.|z'*|=|z|.|z'|
Re(zz'*) <= |z|.|z'| <==> (zz'* + z*z')/2 <= |z|.|z'|
<==> zz'* + z*z' <= 2|z|.|z'|
<==> |z|² + zz'* z*z' + |z'|² <=> |z|² + 2|z|.|z'| + |z'|²
<==> zz* zz'* + z*z' + z'z'* <==> (|z| + |z'|)²
<==> (z + z').(z* + z'*) <==> (|z| + |z'|)²
<==> |z + z'|² <==> (|z| + |z'|)²
<==> |z + z'| <==> |z| + |z'|
CQFD