L'énigme du mauvais élève

[invite9b7f9369]

Dans une classe de 35 élèves, à l'issue d'un test la moyenne est de 10/20. Sachant que j'ai une note strictement inférieure à 10 et que le professeur ne distribue que des notes entières, quel est le meilleur rang auquel je peux prétendre ?

Je me suis posé cette question, et après quelques recherches j'ai du mal à voir comment on pourrait résoudre (et éventuellement généraliser à une classe de n élèves pour une moyenne M avec des notes rationnelles ) sans étudier 36000 cas - si toutefois c'est possible.

Pour l'instant, je sais déjà que ceux qui auront plus ou moins que moi ne peuvent pas avoir respectivement les mêmes notes, mais c'est à peu près tout...

voilivoilà
-----

[ericcc]

Je ne vois pas dans tes hypothèses que tous les élèves ont des notes différentes (et si le professeur note sur 20 c'est impossible )
Une solution : tu as 9/20, et 16 de tes petits camarades également; 1 élève a 10/20; 17 élèves ont 11/20.

[invite9b7f9369]

Ah oui vu comme ça c'est facile Non, je m'intéresse au cas ou aucun de mes camarades n'a obtenu la même note que moi. Désolé d'avoir oublié cette condition

[Médiat]

Avec 30 élèves qui comme toi ont 9/20, 3 qui ont 20 et 1 qui a 11, tu es classé 5^ième, et l y a plein d'autres solutions pour te classer 5^ième, mais je pense que c'est le mieux possible.

Pour le cas général (n > 1) avec des notes rationnelles, si 0 < M < 20, avec (n-1) élèves, dont toi qui ont une note de M-a et 1 élève qui a M+b tu serais 2^ième, et c'est possible, il suffit de résoudre b = a(n-1), toutes les valeurs de b vérifiant 0<b<=20-M et b <= (n-1)M donnent une valeur de a acceptable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Pour optimiser le rang, il faut un minimum d'éléves à 10 ou plus. Faut les mettre aux max.

De même, faut consommer le plus possible à 9 et moins.

Soit n élèves à 9, 35-n à 20, 9n + 700-20n=350, 11n=350, n=31

31 à 9 + 4 à 20, cela fait 359, faut enlever 9, par exemple

31 élèves à 9
1 élève à 11
3 élèves à 20

Rang : 5ème (ex-aequo...)

Cordialement,

Edit: Grillé, mais même réponse...

[invité576543]

Sans ex-aequo

9+8n+20(34-n)=350

689-12n=350, n=28

28 à 8
1 à 9

les 6 autres au-dessus, exemple 5 fois 20 et 1 à 17

Rang: 7 ème, tout seul

Coridalement,

[invite9b7f9369]

Oui comme ça je crois qu'on a la meilleure place possible. Mais il faudrait prouver qu'une distribution de 20, de 8 et d'un 9 est la meilleure possible, même si ça parait plutôt logique.
Ou bien voir si on peut obtenir le même rang avec quelque chose de plus réparti

[Médiat]

Pour le cas général (n > 1) avec des notes rationnelles, si 0 < M < 20, avec (n-1) élèves, dont toi qui ont une note de M-a et 1 élève qui a M+b tu serais 2^ième, et c'est possible, il suffit de résoudre b = a(n-1), toutes les valeurs de b vérifiant 0<b<=20-M et b <= (n-1)M donnent une valeur de a acceptable.

Sans ex-aequo c'est presque pareil :
1 élève avec une note de M + x
toi avec M - y
et (n-2) élèves avec M - z (avec z > y)

On doit résoudre (M + x) + (M - y) + (n-2) (M - z) = nM
soit x = y + (n-2)z
En choisissant x suffisamment petit pour que cela marche avec les bornes
y = x/n et z = (n-1)x/(n(n-2)) devrait convenir.

[Médiat]

Pour le cas entier, je pense avoir démontré que la place que l'on peut obtenir est supérieure ou égale à (2n-1)(22-M).

[Médiat]

Pour le cas entier, je pense avoir démontré que la place que l'on peut obtenir est supérieure ou égale à (2n-1)(22-M).

Petite rectification :

la place que l'on peut obtenir est supérieure strictement à (2n-1)(22-M)

[Médiat]

Petite rectification :

la place que l'on peut obtenir est supérieure strictement à (2n-1)(22-M)

Décidémment, hier soir je n'étais pas en forme, je me suis trompé sur la signification de ma propre variable , la bonne formulation est (ou semble être)

le nombre de personnes devant soi est supérieur ou égal à (2n-1)(22-M).
Dit autrement, la place = ceil(2n-1)(22-M) + 1.

Je devrai aussi vérifier certaines bornes, mais je n'ai pas vraiment le temps ...