Equation du cercle osculateur

[Bleyblue]

Bonjour,

On appelle cercle osculateur en un point P d'une courbe C le cercle de rayon R ( R étant le rayon de courbure en P) dont le centre se trouve sur la normale à C en P, à distance R de P,du côté où la courbe C tourne sa concavité. On peut montrer qu'il s'agit du cercle qui épouse le mieux la forme de la courbe.

Alors bon, mettons que je veuille trouver l'équation de ce cercle pour la courbe y = au point (0,1).

J'ai donc :




Et comme le rayon de courbure est donné par :



Je trouve R = 4.
La tangeante au point (0,1) a pour équation y = 1, la normale a donc pour équation x = 0.
Il nous restes à trouver les coordonées du centre. Comme il se trouve à une disante R de (0,1) on a donc le système (pseudo système en fait car x est donné) à deux inconnues suivant :




On tombe donc sur : | y - 1| = 4
y = 5 ou y = - 3

Et le cercle a pour équation :

1)


ou

2)


Mais il est bien évient qu'une seule de ces équations est celle recherchée (celle du cercle osculateur, qui épouse le mieux la forme de la courbe)
J'ai vérifier graphiquement. La bonne équation est la n° 2). Le cercle n°1) se trouve du mauvais côté de la courbe (pas du côté ou elle tourne sa concavité donc)

Ma question est : comment aurais-je pu savoir (sans utiliser ma calculatrice graphique ) que la bonne équation était la n° 2) ?
Voilà, j'y ai réfléchit mais je ne vois pas trop, donc si vous avez une idée ...

Merci