algèbre lineaire, base de ker(f)..

[invitec7f96499]

bonsoir, je bloque sur cette question :
E=Rn[x], p et q st 2 entiers positifs fixés.
f:E dans E,
tel que f(P)=X²P''-(p+q)XP'+p(q+1)P

pour que f soi un automorphisme j ai trouvé comme condition :
pour tout k dans [0,n], k(k-1)-k(p+q)+p(q+1) différent de 0

on demande ensuite une base de ker(f), dans le cas ou f n est pas un automorphisme. Idem pour Im(f)
j ai beau cherché je ne vois pas trop, si vous pouviez m aiguiller un peu..

[invitec7f96499]

up, il faudrait que je comprenne avant le ds de demain si possible lol

[invite8a80e525]

Bonsoir,

Si on note
quand tu écris le système de n+1 équations équivalent à f(P)=0,
( [k(k-1)-k(p+q)+p(q+1)]a_k=0 pour k de 1 à n)
toutes les lignes où k(k-1)-k(p+q)+p(q+1)=0, tu peux avoir a_k différent de 0, donc une base de Ker(f), c'est avec K l'ensemble des k de 1 à n tels que k(k-1)-k(p+q)+p(q+1)=0.

Pour l'image, c'est pareil mais en inversant.

[invitec7f96499]

hein d accord..... merci de ton aide!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec7f96499]

pour im(f) en fait je vois pas trop....d ou on deduit la base?

[invitec7f96499]

d autre part, comment determiner la dimension de ker(f) avec cette écriture de la base??

[invite8a80e525]

J'arrive peut être trop tard...


une base de Im(f), c'est avec K l'ensemble des k de 1 à n tels que k(k-1)-k(p+q)+p(q+1) est non nul.

La dimension de Ker(f), c'est le nombre d'éléments de la base...