[Algèbre linéaire] Matrice de passage et changement de base

[invitee210c01d]

Bonjour,

Voici l'énoncé de l'éxercice que j' essaye de résoudre :

Énoncé :
Soit l'espace vectoriel des polynômes de dégré inférieur ou égal à deux. est la base canonique de .

On note l'application suivante :


1. Écrire la matrice de dans la base de .
2. Soit . Écrire la matrice de passage de à .
3. Écrire la matrice de dans la base .

Propositions :
1. Ici il faut calculer pour trouver c'est bien ça?
2. Pour cette question, trouve-t-on en résolvant ?
3. Et enfin pour calculer est ce que ?
-----

[inviteb518b463]

oula alors pour petit un tu te complique etudi juste l'image de la base par M1
tu trouve la matrice:
1 1 1/4
01/4 1/4
0 0 1/2

bon j'ai fait de tete donc y a ptetre une erreure sur la matrice

pour la 2 je doit t'avouer que ça fait un baille que j'ai pas fait donc je prefer m'abstenir

pour trois il faut faire QM1Q^-1

[invitee210c01d]

Merci beaucoup pour ces précisions.

[Guillaume69]

Bonjour,

1. Ta méthode permet d'obtenir la matrice par ligne. Elle est juste, mais plus longue que l'autre : l'obtention des colonnes de la matrice, en cherchant l'image des vecteurs de base.


2. Je ne comprends pas ce que signifie ton équation, qui n'est pas homogène (le produit d'une matrice par une base ??).

Par définition, la matrice de bassage de à est la matrice de l'identité de dans , relativement aux bases et .
L'application de cette définition permet d'obtenir Q par colonne : La colonne j de la matrice est constituée des coordonnées du j-ième vecteur de dans la base .

Exemple avec le second vecteur : Les coordonnées de -2x+1 dans la base sont donc (1, -2, 0) (à écrire en colonne normalement mais je sais pas faire). La deuxième colonne de Q est donc (1, -2, 0).
Remarque : il faut faire attention à l'ordre. c'est (1,-2,0) et non (-2,1,0). Piège de l'exercice.

3. Non. Il y a une formule du changement de base (tu ne l'as peut-être pas vue ?)
. avec Q-1 matrice inverse de Q (Q est toujours inversible, puisque c'est par définition la matrice d'une application bijective : l'identité).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee210c01d]

Effectivement, il s'avère qu'à force de vouloir essayer de résoudre certains exos auxquels je n'ai pas de cours associés est compliqué . Je ne sais pas trop ce que je fais. J'ai donc essayer de résoudre ça de bon sens mais ça n'est malheureusement pas suffisant. Merci de m'avoir éclairer!

[invitee210c01d]

1. Donc on a :

On en déduit que la première colonne de est .
ensuite on fait de même pour les deux autres colonnes :
.
.
On a donc .
C'est bon?

[Guillaume69]

C'est bon