Assertion ou proposition ? (voca)

[invite8a216543]

Bonjour,
alors voilà mon problème,

en cours et sur le poly qu'on nous a donné on nous dit qu'une assertion est une phrase vraie ou fausse qui a un sens.

Pourtant en allant sur wiki j'ai trouvé "En logique et en mathématiques, une assertion est une proposition mathématique vraie."

Donc je voulais savoir ce qu'il en était : quand on énonce une phrase mathématique (avec ou sans quantificateur) qu'on peut soit démontrer soit réfuter, c'est quoi ? Une assertion ? Une proposition ?

Une fois démontrée quels sont les termes qu'on peut utiliser ? Théorème, lemme, assertion, proposition ?

Ou bien alors tout ça est équivalent et ça dépend comment on les définie initialement ?

Voilà, c'est du vocabulaire mais c'est pas très clair

Merci.
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[invitea3eb043e]

Dans le Robert, on voit une nuance entre une proposition, affirmation à discuter et une assertion, affirmation dont on est convaincu. Une conjecture, c'est un peu entre les deux : ça a de fortes chances d'être vrai, on le sent mais on ne l'a pas démontré rigoureusement. Le théorème de Fermat a longtemps été une conjecture : on l'avait démontré jusqu'à des valeurs de n très élevées mais pas pour toutes.
Dans tous les cas, ça peut être faux finalement.
Quand c'est démontré, ça devient un théorème. Un lemme, c'est un théorème préliminaire, qui en amène d'autres.

[invite986312212]

en Logique on doit définir ces termes de façon rigoureuse, mais en jargon mathématique, une assertion est effectivement une phrase qui a un sens, un théorème est une assertion qu'on a démontrée, et une proposition peut être soit l'une soit l'autre. Par exemple, l'énoncé d'un théorème peut commencer ainsi: "les trois assertions suivantes sont équivalentes", ici le théorème porte sur l'équivalence, pas sur la véracité desdites assertions. Mais le théorème pourrait aussi bien parler de "propositions équivalentes". Donc proposition peut signifier assertion, mais certains théorèmes sont qualifiés de "propositions" quand on les juge d'un intérêt mineur. De même un lemme est une proposition utilisée dans la démonstration d'un théorème, mais parfois le lemme se révèle intéressant en lui-même et il y a un certain nombre de lemmes célèbres.

[Médiat]

en Logique on doit définir ces termes de façon rigoureuse, mais en jargon mathématique, une assertion est effectivement une phrase qui a un sens, un théorème est une assertion qu'on a démontrée, et une proposition peut être soit l'une soit l'autre.

Personnellement je ne fais pas de distinction entre assertion, proposition et formule (énoncé sous-entend sans variable libre).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Une petite précisionà propos de mon intervention précédente :
En tant que logicien je connais :

1. Les langages
2. Les termes d'un langage
3. Les formules atomiques d'un langage
4. Les formules d'un langage
5. Les axiomes d'une théorie
6. Les théorèmes d'une théorie

Dans une présentation mathématiques, on peut distinguer les postulats des axiomes, bien que cette distinction n'ait plus qu'un intérêt historique, on peut parler de formules, d'affirmation, d'assertions, de propositions, d'énoncés, ce sont tous des formules, on peut parler de lemmes, de théorèmes, de corollaires se sont tous des théorèmes.

[invite8a216543]

Merci.

Le problème vient du fait que le sens "français" soit un peu différent, j'ai trouvé :

Dans la langue française, le mot assertion (n,f) représente une vérité absolue : il définit une proposition reconnue comme vraie.

Et apparemment en maths on a tendance à dire que :

En mathématiques, une assertion est une phrase mathématique, à laquelle il est possible, dans le cadre d'une théorie, d'attribuer une valeur de vérité vraie ou fausse, mais pas les deux (principe du tiers exclu).

Et j'avais aussi lu ce que disait ambrosio, à savoir qu'une proposition pouvait être l'une ou l'autre (assertion ou théorème/lemme).

[invitea3eb043e]

Ca ne serait pas la première fois que les mathématiciens déforment le sens d'un mot !

[Médiat]

Dans la langue française, le mot assertion (n,f) représente une vérité absolue : il définit une proposition reconnue comme vraie.

En mathématiques, une assertion est une phrase mathématique, à laquelle il est possible, dans le cadre d'une théorie, d'attribuer une valeur de vérité vraie ou fausse, mais pas les deux (principe du tiers exclu).

Tu peux aussi ajouter les nuances anglaises (parfois les traducteurs de textes techniques ne cherchent pas midi à 14h).

Pour moi les seuls éléments ayant vraiment un sens parfaitement défini sont les 6 que j'ai cités, le reste est rhétorique.

[invite8a216543]

Les langages
Les termes d'un langage
Les formules atomiques d'un langage
Les formules d'un langage
Les axiomes d'une théorie
Les théorèmes d'une théorie

C'est quoi par exemple un "langage" que tu évoquais ?

Et pourquoi on a pas défini précisément les termes dont on parlait ?

[Médiat]

C'est quoi par exemple un "langage" que tu évoquais ?

Un langage est la données d'un certain nombre de symboles :

1. Symboles de constantes
2. Symboles de variables
3. Symboles de fonctions
4. Symboles de relations

La logique du premier ordre est une logique dont les langages sont de type ; cette notation signifie que l’on dispose de symboles de constantes (donc un nombre dénombrable), que l’on s’autorise les conjonctions (et donc les disjonctions) de longueur strictement inférieure à (donc finie), et les quantifications de longueur strictement inférieure à (donc finie).

Par exemple (0, 1, +, ., <) est un langage avec
2 symboles de constantes (0 et 1)
2 symboles de fonctions binaires (+ et .)
1 symbole de relation binaire (<)
C'est, par exemple le langage qui va permettre de définir les corps ordonnés.
Remarque 1 : je n'ai pas mis le symbole de l'égalité (=), celui-ci étant souvent sous-entendu et encore plus souvent seulement évoqué en parlant de langage égalitaire (ce qui sera exclusivement le cas ci-dessous).
Remarque 2 : je n'ai pas mis les symboles de variables ; en général on ne précise rien, ou alors une précaution liminaire du genre "plus les symboles de variables dont nous aurons besoin par la suite".

La collection des termes d'un langage est définie de la façon suivante :
Les variables de sont des termes.
Les constantes de sont des termes.
Si sont des termes, et, si est une fonction n-aire (d'arité n, c'est à dire avec n variables), alors est un terme.

La collection des formules atomiques d'un langage est définie de la façon suivante :
Si et sont des termes, alors est une formule atomique (puisque que nous ne considérons que des langage égalitaires).
Si sont des termes, et, si est une relation n-aire (d'arité n), alors est une formule atomique.

La collection des formules d'un langage est définie de la façon suivante :
Les formules atomiques sont des formules
Si est une formule, est une formule
Si et sont des formules, est une formule
Si est une formule et x une variable, est une formule

[Seirios]

Par exemple (0, 1, +, ., <) est un langage avec
2 symboles de constantes (0 et 1)
2 symboles de fonctions binaires (+ et .)
1 symbole de relation binaire (<)
C'est, par exemple le langage qui va permettre de définir les corps ordonnés.

Je ne comprends pas très bien pourquoi les constantes du langage ne sont que 0 et 1 ; ne faudrait-il pas mettre toutes les constantes du corps ? (ce qui est faux, puisqu'il est mentionné qu'il doit y avoir un nombre dénombrable de constante, ce qui ne marche pas si l'on prend , mais c'est juste pour avoir une explication)

[invite6754323456711]

Je ne comprends pas très bien pourquoi les constantes du langage ne sont que 0 et 1 ; ne faudrait-il pas mettre toutes les constantes du corps ? (ce qui est faux, puisqu'il est mentionné qu'il doit y avoir un nombre dénombrable de constante, ce qui ne marche pas si l'on prend , mais c'est juste pour avoir une explication)

En tant qu'informaticien ce que je peux dire c'est que le plus petit corps est celui des booléens (donc deux symboles suffissent à le définir). On peut aussi en lieu est place de 0 et 1 utiliser les symboles F et V. De même pour les symboles de fonctions binaires (OU, ET).



Patrick

[Médiat]

Je ne comprends pas très bien pourquoi les constantes du langage ne sont que 0 et 1 ; ne faudrait-il pas mettre toutes les constantes du corps ? (ce qui est faux, puisqu'il est mentionné qu'il doit y avoir un nombre dénombrable de constante, ce qui ne marche pas si l'on prend , mais c'est juste pour avoir une explication)

Pour définir un corps on a besoin que de ces deux constantes, d'ailleurs, comme le fait remarquer ù100fil, {0, 1} peut être muni d'une structure de corps.

J'ai mis ces deux symboles de constante dans le langage parce que c'est plus facile avec ce langage d'écrire l'axiome 0 != 1, mais on pourrait s'en passer complètement.

Rien n'interdit de définir d'autres constantes (pour écrire les axiomes de corps un peu particulier), mais ce n'est pas obligatoire.

[invite6754323456711]

Pour définir un corps on a besoin que de ces deux constantes

C'est certainement la raison pour laquelle en informatique, juste avec le langage binaire, il est possible de construire et manipuler des structures plus complexes comme les réels et les complexes ?

Patrick

[Médiat]

Bonjour,

C'est certainement la raison pour laquelle en informatique, juste avec le langage binaire, il est possible de construire et manipuler des structures plus complexes comme les réels et les complexes ?

J'en serais extrêmement surpris :

• puisque l'on peut définir la structure de corps sans aucune constante
• parce que l'informatique ne manipule ni les réels, ni les complexes (la mémoire est toujours fini)
• 0 et 1 ne suffisent pas à engendrer les réels, mais "seulement" les rationnels

[invite986312212]

(...)juste avec le langage binaire, il est possible de construire et manipuler des structures plus complexes comme les réels et les complexes ?

ça dépend de ce que tu appelles "manipuler". Les réels de l'informatique (float, double...) ne sont que des approximations. D'un autre côté,avec les deux lettre "p" et "i" (dont j'ai oublié le code ascii...) je peux écrire "pi" et certainement "manipuler" ce réel dans Mathematica ou autre.

[invite6754323456711]

Bonjour,

Je fesais allusion à l'ensemble des réels calculables qui est un corps dénombrable. On ne sait donc qu'en faire une représentation approximative ?

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

Pour définir un corps on a besoin que de ces deux constantes

• puisque l'on peut définir la structure de corps sans aucune constante
  (la mémoire est toujours fini)
• 0 et 1 ne suffisent pas à engendrer les réels, mais "seulement" les rationnels

Mon incompréhension est lié à ces assertions.

Corps et structure de corps désignent deux notions différentes ?

Ce qui conduit, car je ne vois pas la différence, à l'autre question :

Si on peut définir un corps par les deux constantes 0 et 1 pourquoi ne suffisent elles pas à engendrer les réels qui peuvent être muni d'une structure de corps ?

Patrick

[Médiat]

Bonjour,

Mon incompréhension est lié à ces assertions.

Je précise : on peut définir la théorie des groupes sans aucun symbole de constante, on peut définir la théorie des corps avec 1 ou 2 symboles de constantes (afin de se simplifier l'acriture de certains axiomes), on ne peut pas définir la théorie des corps avec 3 symboles de constantes (ou plus) dont on préciserait qu'elles sont différentes deux à deux.

Corps et structure de corps désignent deux notions différentes ?

Non.

Si on peut définir un corps par les deux constantes 0 et 1 pourquoi ne suffisent elles pas à engendrer les réels qui peuvent être muni d'une structure de corps ?

Ce n'est pas un corps particulier que je peux définir avec 2 symboles de constantes, mais la théorie des corps (l'ensemble des formules vraies dans tous les (modèles de la théorie des) corps).
De plus ce n'est pas parce que ces symboles de constante sont utiles qu'ils sont suffisants, si on précise que le corps que l'on veut construire est de caractéristique 0, alors on "génère" le corps des rationnels, pas le corps des rééls.