Etude d'une limite en +00 et -00

[invite2ba58b84]

Bonjour , je bloque pour la première fois sur l'étude d'une limite lol et je requiert votre aide.
On me demande d'etudier la limite de x².e^(-3x).4^(x)
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[invite88ef51f0]

Salut,
Qu'est-ce qui te bloque ? Si c'est le 4^x, essaye de le réécrire différemment...

[invite2ba58b84]

lorsque je met des ln , j'obtient que la limite en +00 est -00.

ma demarche :

x².e^(-3x).4^(x)

= lnx².lne^(-3x).ln4^(x) = - lnx².(3x).lnln4^(x)

apres tout les morceau tendent vers plus l'infini mais avec le moins devant , j'obtien - infinis .....

par contre la limite en - infinis je trouve pas ...

mon raisonnement est il correct ?

[invite2ba58b84]

ha et en -00 je trouve :
x².e^(-3x).4^(x)
= x². (4/e^-3)^x

et donc la en -00 x² tend vers +00 et (4/e^3)^x tend vers +00
donc le tout tend vers +00 en -00 ?

mais je pense qu'il y a une erreur ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

lorsque je met des ln , j'obtient que la limite en +00 est -00.

ma demarche :
= lnx².lne^(-3x).ln4^(x) = - lnx².(3x).lnln4^(x)

apres tout les morceau tendent vers plus l'infini mais avec le moins devant , j'obtien - infinis .....

par contre la limite en - infinis je trouve pas ...

mon raisonnement est il correct ?

Attention : si tu passe au log, le produit devient une somme !

ln(ab)=lna+lnb

Tu as écrit des horreurs

[invite2ba58b84]

ha oui en effet , les vacances sont passées par la ...
je ne vois pas comment faire alors pour etudier les limites

[inviteaf1870ed]

En n'oubliant pas deux choses :

1/ 4^x=e^xln(4)
2/ xⁿe^-x a une limite connue en + et - inf

[invite2ba58b84]

Pour +00
je peux dire que x².e^(-3x).4^(x) = x².(4/e^(-3))^(x) et donc cela tend vers +00 ?

ou alors ta methode :

e^(xln(4)) = 4e^(x) mais je vois pas à quoi ca m'avance puisque mon probleme c'est e^(-3x) qui lui tend vers -00

[inviteaf1870ed]

e^(xln(4)) = 4e^(x) mais je vois pas à quoi ca m'avance puisque mon probleme c'est e^(-3x) qui lui tend vers -00

Ah bon ? As tu regardé mon point 2/ ?

[invite2ba58b84]

je vois pas du tout

[invite2ba58b84]

en quoi le 2/ peut me servir en faite j'arrive pas à le mmettre sous cette forme

[invite2ba58b84]

Personne ne peut m'aider pour celle la pke j'en ai encore une autre a resoudre ... lol

[invite2ba58b84]

peut être que j'ai trouver (ouff lol )

4^x = e^(xln(4))
d'ou dans la formule on obtient :

e^(xln(4)) . e^x
=
e^x(ln(4)-1)

et comme (ln(4)-1) toujour positif alors en +00 l'ecriture vaut +00 et en -00 elle vaut 0 ?

[invite2ba58b84]

quelqu'un peut il au moins me confirmer ceci ?

[inviteaf48d29f]

La résultat est correct, mais pas la justification. Il vaudrait mieux faire apparaitre clairement la limite usuelle et ne pas trainer une constante dans ton exponentiel que tu ne semble pas maitriser.
Tu ne précises même à aucun moment que 3-ln(4) est positif alors que c'est absolument indispensable.



Une fois écrit sous cette forme tu peux utiliser ta formule car elle fonctionne pour n'importe quel exposant réel sur x. Je ne dis pas que cette écriture et le seul moyen de parvenir au résultat et encore moins que c'est l'écriture la plus élégante pour y arriver. Non c'est même parfaitement dégueulasse mais au moins ça a le mérite d'être juste
Quelque chose de plus élégant serait de dire que comme pour tout et pour tout

et comme 3-ln(4)>0 tu as bien le résultat attendu. Si tu montre au correcteur que tu es assez à l'aise, tu peux te permettre d'aller plus vite. Mais si tu veux pouvoir aller vite sur les trivialités il faut que ce qui reste de justification soit impeccable. C'est le prix de l'élégance.

Tant que j'y suis, écrire lim xⁿe^-x=0 en plein milieu de ta copie, c'est déplacé. C'est quoi ce "n" qui apparait ? Si tu ne le définit pas "n" est simplement une lettre. D'autant plus qu'ici tu n'as pas besoin d'utiliser la formule avec un nombre quelconque en exposant puisque tu le connais l'exposant.
Et pourquoi écrire la formule en multipliant par l'exponentiel d'une valeur négative alors que juste avant tu avais écrit l'exponentiel comme dénominateur d'une fraction. Autant l'écrire les deux fois de la même façon.

Il vaut toujours mieux adapter l'écriture des formules de cours à la situation présente plutôt que de l'écrire toujours de la même façon quitte à alourdir. Les correcteurs n'ont aucune considération pour les machines à recracher leur cours bêtement.

Tu dois penser que j'en fais 3 tonnes pour des détails, et c'est sans doute un peu vrai. Mais en maths, chaque détail a une importance primordiale.

P.S : L'infini c'est un 8 couché, pas juste penché.

[invite2ba58b84]

Merci pour ta reponse precise lol !! ca fait du bien.
Nan pour 3-ln(4) j'ai mis que c'etait positif mais j'ai coupé au scann ...
et d'accord pour la methode et le fait de ne pas ecrire x^n ...
par contre j'ai une quesiton , si je laisse comme ca la justification c'est faux , il faux abslolument se debarrasser de la constante à l'exponentielle ? meme si on dit qu'elle est positive ?

merci

[inviteaf48d29f]

La justification n'est pas vraiment fausse, mais imprécise et en décalage avec le cas que tu étudie. Se débarrasser de la constante dans l'exponentielle ne serait franchement pas élégant, mais dans ce cas là tu peux écrire la limite usuelle avec aussi une constante dans l'exponentielle. Attention tout de même à l'écrire correctement, que ça ne devienne pas faux.
Il faut savoir adapter ses formules. Moi même les formules du style des limites x/exp(x) je ne les ai jamais apprise et je ne les sais toujours pas. Ce dont je me souvient par contre c'est qu'exp c'est la plus forte et que log elle perd tout le temps. Avec ça je les retrouve toutes.

C'est très rare que ce soit utile d'apprendre par cœur une formule dans ses moindres détails, en général c'est même contre-productif, l'important c'est de savoir s'en servir.