Espaces vectoriels: corps et groupes

[invite3ebd6bc8]

Bonjour,

Si mon ensemble E est un K-espace vectoriel

Peut-on écrire que (E,+, . ) et un corps ? corps abélien?
ou doit-on juste écrire que (E,+) est un groupe abélien?


Merci.
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Un K ev qui a une structure de corps est appelé algèbre. Et dans ce cas, il faut effectivement mettre (E, +, *) est une algèbre.

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rvz, groupes & co

[will974]

Je trouve ca trés mal dit. Un K espace vectoriel que l'on peut munir d'une structure de corps par adjonction d'une loi interne est une algebre! Je crois que Xanthippe s'emmele un peu les pinceuax aussi. Un ensemble E est un ensemble mais on peut le munir d'une structure d espace vectoriel.
Dans le cas de la structure d'algebre il y aura donc trois lois distinctes en général deux internes et une externe.

[Forhaia]

Bonsoir,

pas besoin des inversibles, une structure d'anneau et d'espace vectoriel suffit (+compatibilité de . avec *) pour avoir une algèbre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Bonsoir,

Ouh pardon, la honte ! Tu as bien entendu raison Forhaia.... Je suis complétement rouillé.

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rvz, argh, l'algèbre me manque

[will974]

Tout à fait! a répondre trop vite on finit par ne plus faire attention! Merci de la correction.

[Arkhnor]

Bonjour.

De toute manière, la structure de K-algèbre est donnée par l'ajout d'une LCI. Ici, Xanthippe semble se demander si (E, +, .) K-espace vectoriel implique (E, +, .) corps. C'est manifestement faux, la loi . n'étant pas une loi interne ... ( à part si E = K ...)

Un K-espace vectoriel, c'est un triplet (E, +, .), où (E, +) est un groupe abélien (c'est à dire que + est une LCI sur E vérifiant un certain nombre de propriétés), et . est une application de K x E dans E, vérifiant elle aussi certaines propriétés.
Un corps, c'est un triplet (E, +, x), avec là encore des propriétés à vérifier, mais la première différence, c'est que la seconde loi, c'est une loi interne !

De plus, que signifie l'expression corps abélien ? On ne parle à ma connaissance que de groupe abélien, pour les anneaux et les corps, si la multiplication est commutative, on parle d'anneau ou de corps commutatif.

[invite3ebd6bc8]

bonjour,

C'est effectivement une erreur.

Merci pour vos réponses.