oscillation d'un fonction (continuité)

sailx · 05/10/2009 - 18h21

bonjours à tous.
Alors j'ai un peu de mal avec les voisinages d'un point mélangé à la continuité. (c'est encore trop frais dans ma tête)
Mais voici un exercice sur lequel je bloque :

on définit E et F deux espaces véctoriel normé et f une application de E dans F.
Si $x \in E$ , on note $V(x)$ l'ensemble des voisinages de x et :
$\omega (f,x) =inf( \delta(f(v)))$ (l'inferieur pour $v \in V$ .
Le delta est le diamètre de la partie.
(a) montrer que f est continue si et seulement si $\omega(f,x)=0$

et là, c'est la cata... j'arrive pas du tout à relier la continuité à omega... que ce soit dans un sens ou dans l'autre.

dans le sens omega=0 => f continue
je commence par dire que comme l'inf est nul, il existe un voisinage de x tel que le dimaetre de son image par f est nul. mais après ... ça veut dire quoi ? que tout ce voisinage est envoyer sur un unique point ???

encore merci pour votre aide.

rvz · 05/10/2009 - 18h51

Envoyé par sailx

on définit E et F deux espaces véctoriel normé et f une application de E dans F.
Si $x \in E$ , on note $V(x)$ l'ensemble des voisinages de x et :
$\omega (f,x) =inf( \delta(f(v)))$ (l'infIMUM pour $v \in V$ .
Le delta est le diamètre de la partie.
(a) montrer que f est continue si et seulement si $\omega(f,x)=0$

Salut,

Ouh le bel exo. En fait ton v est un ouvert, n'est-ce pas ? Quelle est ta définition de continuité en un point x ? Ne serait-ce pas
$<br /> \forall \varepsilon>0, \exists v \in V(x), \forall y \in V, d(f(y), f(x)) \leq \varepsilon.<br />$
?

Dans ce cas, il faudrait essayer de faire le lien entre $\delta(f(v))$ (souviens toi que $x \in v$ ) et $d(f(y),f(x)).$

A toi de jouer maintenant,

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rvz, miam de la topologie

sailx · 05/10/2009 - 19h22

je pense avoir trouve un sens. pour l'autre. je me sens proche, mais il me manque encore un petit truc ><
donc, pour continuité => omega=0
soit $\varepsilon=1/n$
comme f continue,
$\forall n \in \mathbb{N}, \exist v_n \in V(x), \forall y_n \in v_n, d(f(x),f(y)\leq 1/n$
donc, $\forall n \in \mathbb{N} ,\omega(f,x) \leq 1/n$
ainsi, si f continue, omega est nul
si j'ai mal rédigé, faut me le dire !

l'autre sens : par défintion,
$\delta ( f(v)) = sup (d(f(a),f(b)))$ avec a et b dans v
donc en particulier,
pour tout y dans v , $\delta(f(v)) \geq d(f(x),f(y))$
et, comme la borne inférieur, c'est le plus grand des minorants, il vient :
pour tout y dans V(x) $\omega(f,x) \geq d(f(x),f(y))$

bon, j'ai du louper un truc ... j'ai bien la majoration de la distance, mais, j'ai pas mon epsilon ><

rvz · 06/10/2009 - 09h53

Salut,

C'est bien pour la première partie, et c'est l'idée pour la deuxième, bravo ! C'est juste que omega est un inf... donc il n'est pas forcément atteint.

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rvz