Probas

[inviteb64a2f8e]

Bonjour à tous !

Voilà je bloque sur un petit exercice de probas et je vous serais donc reconnaissant de me donner quelques pistes. Voici l'énoncé :

Un ascenseur dessert étages d'un immeuble. A chaque voyage le nombre de personnes qui montent dans cet ascenseur au rez de chaussée est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre .
On émet les hypothèses suivantes :

- Aucun arrêt n'est dû à des personnes désirant monter dans l'ascenseur à un autre niveau que le rez de chaussée.

- Chaque personne choisit son étage d'arrivée au hasard et indépendamment des autres passagers. (Ces choix se font dans l'ordre d'entrée des passagers dans l'ascenseur).

Enfin, pour tout entier naturel , on appelle la variable aléatoire égale au nombre d'arrêts de l'ascenseur lorsque celui-ci contient passagers au départ.

Question 1 :

Montrer que pour tout et pour tout entier naturel :


=> J'ai posé l'événement A : "le (k+1)ème passager choisit un étage déjà choisi par un autre passager" et j'utilise le fait que A et son événement contraire forme un système complet. Je tombe sur le résultat demandé.

Question 2 :

En déduire que

=> Alors là je ne sais pas trop : est-ce que je dois multiplier l'égalité précédente par et sommer sur les pour retomber sur la définition de l'espérance ?

Question 3 :

Justifier que , puis déterminer pour tout entier naturel

=> J'ai fait une récurrence pour l'expression de et je tombe sur . Mais ce résultat me paraît un peu bizarre =S

Question 4 :

Montrer que si S désigne une variable aléatoire égale au nombre d'arrêts de l'ascenseur à un voyage donné alors :



=> Je vois bien qu'il faut utiliser à la fois la loi de Poisson de X pour le nombre de passagers et le calcul de mais je ne vois pas trop comment faire, d'autant plus que je ne suis vraiment pas sûr de mon expression de .


Voilà, je vous serais donc très reconnaissant de me donner quelques pistes.

Merci beaucoup !

ZimbAbwé.
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[Romain-des-Bois]

Bonjour,

- oui pour la question 2, tu connais donc est facilement calculable par :
.

- pour la fin de l'exercice, il faut que tu remarques que .

Alors, la loi de se détermine en conditionnant par rapport à .



Tu peux aller un tout petit peu plus vite en raisonnant directement avec les espérances puisque seule l'espérance de t'intéresse.

J'espère ne pas me tromper... j'ai lu un peu vite l'énoncé faute de temps...

[inviteb64a2f8e]

Tout d'abord merci de ta réponse !

- Pour la question 2, j'ai en effet multiplié toute l'égalité par puis sommé sur les mais je me retrouve avec du :



Et de là je ne vois pas comment retomber sur la formule cherchée =S Est-ce que je dois faire un changement d'indice dans la deuxième somme ?

- Pour la question 3, mon expression de semble bonne ?

- Pour la question 4, je vois bien que l'espérance de est mais je ne vois pas comment avoir un relation entre , et

[Romain-des-Bois]

Bonjour,

Concernant les calculs qui te posent problème...

(...)

En déduire que

Je propose de réécrire comme ceci :

donc :




On somme sur et on a :



La question 3, c'est encore du calcul. Pour savoir si ton résultat est correct, regarde s'il vérifie l'hypothèse de récurrence :


La question 4 : il me semble avoir tout dit dans mon message précédent. Tu as la loi de , il est facile de trouver l'espérance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb64a2f8e]

Merci beaucoup Romain-des-Bois !