Polynômes de Taylor

[Garion5]

Bonjour, ou bonsoir à tous,

J'ai fait le début d'un exercice de math mais je ne parviens plus à avancé. Donc j'ai besoin d'un petit coup de pouce !!
Voila le problème et en dessous ce que j'ai déjà fait plus mes idées pour la suite :

Utiliser la formule de Taylor avec une expression appropriée du rest e pour montrer que 1-cos x < ou = x²/2 (x appartient à R) .

Donc j'ai définis f(x) = 1-cos x et g(x) = x²/2
J'ai calculé le polynôme de Taylor de degré 2 pour 1-cosx.
J'obtiens 1-cos x = 0+0+ (cos(0) x²)/2 + reste
On peut dire que x²/2 + reste < ou = x²/2
Donc le reste doit être négatif.
Je calcule le reste : (cos (c) . x³ )/ 3! avec c compris entre 0 et je ne sais pas quoi ????

Et puis, pour terminer, je suppose qu'il suffit de calculer le reste. Mais comment faire?

Voila, merci beaucoup !
Bonne journée à tous
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[Jeanpaul]

La solution simple consisterait à dire que 1 - cos(x) = 2 sin²(x/2) et que |sin(x/2)| <= |x/2| mais là on te pousse à la complication.
Le théorème de Taylor te dit que :
cos(x) = 1 - x²/2 + x^4/4! cos(c x) avec 0<c<1
et cela ne résout pas le problème car si x devient grand, le cos(cx) peut devenir négatif et te mettre en défaut.
On peut pousser un cran plus loin :
cos(x) = 1 - x²/2 + x^4/4! -x^6/6! cos(c x) en amenant la dérivée 6ème
et remarquer que si |x|>pi il est trivial que cos(x) > 1 - x²/2 car le second membre est inférieur à -1
alors on peut voir que
cos(x) = 1 - x²/2 + x^4/24 . [1 -x²/30 cos(c x)]
On voit assez bien que si x<pi, le crochet est toujours positif quel que soit le cosinus parce que pi²/30 <1, d'où l'importance de se limiter à x<pi