exercice polynomes

[littlegirl]

bonjour,
voici une exo d'algèbre que je n'arrive pas à resoude du tout!
soit A , B,C,D des polynomes è coeffeicients dans R.
degré de A = degré de B = n
degré de B<2n et degré de D < 2n
A^3 + B=C^3 + D
on doit montrer : A=C et B=D
puis de trouver un contre exemple avec des polynomes à coefficients complexs.
merci d'avance.
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[God's Breath]

On écrit la condition sous la forme que l'on factorise, dans , sous la forme avec .
La contemplation des degrés des divers facteurs doit conduire au résultat.
Cela permet de trouver un contre-exemple lorsque les polynômes appartiennent à .

[littlegirl]

.

c'est A-C je suppose pas A_B
mais ça me parait encore flou!!
1/comment vous avez trouvez cette factorisation?
2/ceci répond au contre exemple dans C mais dans R coment peut on le faire???
merci

[God's Breath]

c'est A-C je suppose pas A_B

Oui, c'est A-C.

1/comment vous avez trouvez cette factorisation?

J'utilise les racines cubiques de l'unité : fournit la factorisation générale .

2/ceci répond au contre exemple dans C mais dans R coment peut on le faire???

On a , donc on peut utiliser la factorisation dans pour dees polynômes à coefficients réels. Cette particularité permet même d'estimer très précisément certains degrés.

[A voir en vidéo sur Futura]

[littlegirl]

merci
j'ai compris la factrisation

dans R on a
deg(A-C) <= m
idem our A-jC et A-j²C
donc deg(A^3 - B^3) <= 3m
or deg B-D<2m
donc m=0
A,B,Cet<d sont des polyomes constants
c'est juste??!!

[God's Breath]

c'est juste??!!

Nons. Tu ne peux rien conclure avec seulement des inégalités de degré.

Le fait que tu travailles avec et dans permet de calculer précisément les degrés de et dans .

[littlegirl]

merci God's Breath pour votre patience
dans R les coefficient de C dans A-jC doient s'annuler ainsi que A-j²C
donc deg(A-jC)=deg(A-j²C)=n
donc n^3 < n
donc n=0 ou n=1
c'est bon??

[God's Breath]

Je reprends. Les polynômes A et C sont à coefficients réels, de degré n.
Quels sont les degrés des polynômes A-C, A-jC et A-j^2C ?

[littlegirl]

Je reprends. Les polynômes A et C sont à coefficients réels, de degré n.
Quels sont les degrés des polynômes A-C, A-jC et A-j^2C ?

chaque polynome est de degré n

[Thorin]

effectivement, c'est vrai pour A-jC et A-j²C (car j et j² sont complexes), mais pour A-C, imaginons que A=C, alors, on n'a certainement pas deg(A-C)=n ! (sauf s'ils sont tous deux nuls).

Que peut-on dire du degré de A-C, si on suppose que A et C sont différents ? que peut-on dire ensuite du degré du produit de ces 3 polynômes que l'ont vient d'examiner ?

[littlegirl]

deg(A-C)<= n
donc deg(A-c)(A-jC)(A-j²C)<= n^3

[God's Breath]

On aimerait une minoration du degré de lorsque .

[Thorin]

Et une chose importante : lorsque Deg(P)=n et deg(Q)=m, deg(PQ)=n+m, et pas autre chose !

[littlegirl]

2n <= deg[ (A-C)(A-jC)(A-j²C) ] <= 3n

[Thorin]

2n <= deg[ (A-C)(A-jC)(A-j²C) ]

voilà !

maintenant, que peut-on dire du degré de D-B (l'autre côté de l'égalité) ?
Conclusion?

[littlegirl]

2<= deg(D-B) <= 3
absurde car deg D-B ppartient à n
=> D-B n'est autre que le polynome nul
=> A=C
c'est bon??

[littlegirl]

God's Breath et Thorin
je vous remercie infiniment pour votre aide.

[Thorin]

2<= deg(D-B) <= 3
absurde car deg D-B ppartient à n
=> D-B n'est autre que le polynome nul
=> A=C
c'est bon??

il faut dire que deg(D-B)<2n, ce qui, maintenant, est absurde.