distribution

[invitec69d9803]

resoudre dans D^1(R) l'equation x.(dT/dx)=0
svp comment resoudre cet exercice dans le cours des distributions?
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[Arkhnor]

Bonjour.

Connais-tu les solutions de l'équation , dans ?

[invitec69d9803]

non

[Arkhnor]

Ce sont les multiples de la masse de Dirac en 0.
Tu ne l'as pas démontré en cours ?
Dans ce cas là, vois-tu comment on le démontre, et comment on peut résoudre le problème initial à partir de là ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec69d9803]

malheureusement non parce j'ai trouvé le cours de distribution un peu difficile et j'y ai rien compris.svp pouvez vous me donner la reponse de l'exercice?et la masse de dirac,est ce que c'est la fonction qui donne 1 en 0 et nul dan tout le reste?

[Arkhnor]

La masse de Dirac, c'est la distribution qui à une fonction test, associe sa valeur en 0. Ce n'est pas une distribution associée à une fonction.

Si tu ne sais pas ce que c'est qu'une distribution, il faut peut-être commencer par là ...
Une distribution, c'est une forme linéaire continue (en un sens à préciser) sur l'ensemble des fonctions tests (fonctions indéfiniment dérivables à support compact), c'est à dire une application linéaire qui à une fonction test associe un nombre.
La masse de Dirac, cité auparavant, est bien une distribution.

On note généralement la valeur de la distribution T en par .
On a donc .

On peut multiplier une distribution par une fonction : si est une distribution, et une fonction , alors est la distribution définie par

désigne donc le produit de la distribution par la fonction .

On peut aussi dériver une distribution : si est une distribution, (ou ) est la distribution définie par .

désigne donc le produit de la dérivée de par la fonction .

Est-ce que c'est déjà plus clair ?

On cherche ensuite à résoudre l'équation .
C'est-à-dire que l'on cherche toutes les distributions telles que le produit de leur dérivée par la fonction donne la distribution nulle. (la distribution nulle est bien sur définie par )

Je te propose d'admettre pour l'instant que les solutions de l'équation sont les distributions , où est une constante, et la masse de Dirac en 0. (vérifie que ces distributions sont solutions de l'équation, c'est pour montrer que ce sont les seules que c'est plus délicat, en principe, c'est vu en cours ...)

Vois-tu comment, en connaissant les solutions de cette équation, on peut en déduire les solutions de ?

[invitec69d9803]

donc les solutions sont encore les memes pour l'exercice que pour xT=0 car les fonctions tests ont un support compact ou plutot fermé borné.c ça non?

[Arkhnor]

Non, je ne vois ce que le support de la fonction test vient faire ici.
L'équation implique que est solution de l'équation , et donc que est de la forme , c'est-à-dire que est une primitive de .
Il ne reste plus qu'à déterminer les primitives de la masse de Dirac, et la méthode est très certainement dans ton cours ...

[invitec69d9803]

la primitive de la masse de dirac est la masse de dirac elle meme non?car is on integre dans les points ou dirac s'annule on aura une constante,or la distribution a un support compact donc borné,la fct ne peut etre nn nul dan tout R,donc elle est nul sur R^* c donc la masse de dirac elle meme

[Arkhnor]

Non, une primitive de la masse de Dirac en 0, c'est la fonction de Heaviside (la fonction nulle sur et qui vaut 1 ailleurs) plus une constante.

Je ne comprend pas ton raisonnement, les distributions ne sont pas des fonctions ordinaires ...

[invitec69d9803]

Je crois que je n'ai pas bien assimilé mon cours,vous a avez tout a fait raison et encore pour votre grande aide,j'ai un probleme pour comprendre les mathématiques et je ne sais po comment y remedier,j'espere aquerir les bases de cette discipline mais je ne sai po comment :s,en tout cas,encore merci pour votre grand aide mon ami