exponentielle: démonstration de cours

[invite21126052]

bonjour à tous,

en révisant un peu la fonction exponentielle, je suis tombé sur la propriété suivante:

pour a et b réels, a > b <=> exp(a) > exp(b)
et je me demandais comment on démontrais ça

est-ce à partir de la stricte croissance de exp sur IR ?

c'est surtout l'implication dans dans le sens fonction vers variable qui me pose "problème"

si quelqu'un pouvait me répondre... merci beaucoup!

[inviteab2b41c6]

Bonjour,
je crois que tu te poses des questions bizarres.
Quelle est la définition de la stricte croissance d'une fonction?
C'est justement ce que tu proposes...
Donc tu tournes en rond si tu le prouves par stricte croissance.

Je pense que maintenant c'est plus clair pour toi.

(pour l'autre implication, supposes que a<b et exp(a)>exp(b) et utilise la croissance)
A+

[invitedf667161]

Pour l'implication réciproque tu peux utiliser la stricte croissance de ln.

[invitedf667161]

Pour l'implication réciproque tu peux utiliser la stricte croissance de ln.

Il y avait bien une équivalence dans son truc.
Pour la réciproque je suggère de partir de a et b avec e^a < e^b et de mettre un coup de ln qui est strictement croissante pour arriver à a < b.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Il y avait bien une équivalence dans son truc.
Pour la réciproque je suggère de partir de a et b avec e^a < e^b et de mettre un coup de ln qui est strictement croissante pour arriver à a < b.

Oui mais utiliser la fonction réciproque est inutile et ce n'est pas toujours possible.

f est strictement croissante.
On suppose f(a) < f(b)
On ne peut pas avoir a > b sinon f(a) > f(b)
On ne peut pas avoir a = b sinon f(a) = f(b)
conclusion: a < b
on retrouve bien une équivalence.

[invitedf667161]

Oui mais utiliser la fonction réciproque est inutile et ce n'est pas toujours possible.

f est strictement croissante.
On suppose f(a) < f(b)
On ne peut pas avoir a > b sinon f(a) > f(b)
On ne peut pas avoir a = b sinon f(a) = f(b)
conclusion: a < b
on retrouve bien une équivalence.

Pour rassurer Planck, dans la définition de la croissance d'une fonction il n'y a effet qu'une implication. Cependant comme le montre Matthias ici c'est en fait une équivalence. Mais ça sert pas trop donc te prends pas la tête avec.
Ce que je disais avec le ln permet de bien voir la réciproque. La réciproque d'une fonction strictement croissante est une fonction strictement croissante.

[invite21126052]

Bonjour,
je crois que tu te poses des questions bizarres.

et encore, tu me connais pas!

bref, ce qui m'embêtait, c'était que la définition de croissance stricte c'était: pour tout réels a et b de I, a<b => f(a) < f(b)
c'est-à-dire, juste une implication;

mais bon du coup avec la piste que tu m'as donnée:
on suppose a et b tels que e(a)>=e(b).
Si a<b, alors e(a)<e(b)
donc contradiction avec e(a)>=e(b). du coup, a>=b. c'est ça?

en tout cas, merci beaucoup!

[invite9b7da66e]

on suppose a et b tels que e(a)>=e(b).
Si a<b, alors e(a)<e(b)
donc contradiction

La contradiction, c'est de dire suppons exp(a)>=exp(b) et a<b . C'est une affirmation fausse.

Tu y verras plus clair quand tu auras vu le chapitre sur la fonction log, ou ouvres ton bouquin tout de suite tu devrais vite comprendre

[invite21126052]

quel rapport avec la fonction log ou ln?

non, maintenant (selon les instructinos officielles!!), on introduit d'abord la fonction exponentielle (comme seule fonction de IR telle que f'=f et f(0)=1) et on introduit par la suite la fonction logarithme comme la réciproque sur IR+*, donc normalement on ne devrait pas avoir à utiliser le log!!

je suis d'accord pour dire que exp est strictement croissante sur IR car sa dérivée est strictement positive;
donc on a pour tout a et b de IR, a<b => exp(a)<exp(b).
(d'après la définition de la croissance stricte)

ce pour quoi j'ai du mal, c'est à voir en quoi l'implication réciproque est aussi vérifiée; pour ça, ça me semblait juste ma "démonstration" (qui pourrait s'appliquer à toute fonction d'ailleurs, non?)

[inviteab2b41c6]

Pas la peine de logarithme la dedans.
Si je te donne une fonction croissante imbittable, tu ne pourras pas t'en sortir en considant la fonction réciproque.
C'est juste la définition de la croissance, y'a pas à chercher plus loin.
A+

[invite51605009]

C'est la définition de la croissance

Et puis la croissance tu la démontres grace au fait que la dérivée est positive sur tout R . Donc si a>b, e(a)>e(b) et inversement.

[invitec314d025]

Et puis la croissance tu la démontres grace au fait que la dérivée est positive sur tout R

Que vient faire la dérivée la-dedans ?

[inviteab2b41c6]

Que vient faire la dérivée la-dedans ?

Bein le signe de la dérivée prouve la croissance, non?

[invitedf667161]

Bein le signe de la dérivée prouve la croissance, non?

Ya des fonctions croissantes qu'ont pas de dérivée.

[invite21126052]

la prof nous a donné une définition de la croissance dans laquelle on ne considérait que l'implication (confirmation dans un livre de mpsi)

je me demandais comment on faisait dans l'autre sens:
exp(a) < exp(b) => a < b.
on ne peut pas utiliser directement le fait que l'exponentielle soit strictement croissante sur IR, puisque ça ne correspond pas à la définition, qui est une implication, mais dans l'autre sens (même si ça ne doit pas être très éloigné comme démonstration!)

quant à utiliser la croissance de la fonction ln, ça me gêne beaucoup puisqu'on l'a prouvée à partir de celle de la fonction exponentielle!! (je préfère éviter les pétitions de principes )

pour romain: oui, effectivement, heuresement qu'on a déjà vu les log! on a pas tout à faiut fini le programme pour autant, mais bon en 3h, on devrait y arriver!

encore juste: un de nos théorèmes c'est si f'>0 sur I sauf en un nombre fini de points ou f s'annule, alors f strictement croissante sur I... encore une fois, on n'a pas d'équivalence! (en tout cas, c'est présenté comme ça en terminale...)

[inviteab2b41c6]

Ya des fonctions croissantes qu'ont pas de dérivée.

Ouais mais là c'est le cas alors pourquoi se prendre la tête?
Sinon je suis de l'avis du dernier post de mathias, mais c'est le même que le mien au tout début du fil.
A+

[inviteaeeb6d8b]

Tu y verras plus clair quand tu auras vu le chapitre sur la fonction log, ou ouvres ton bouquin tout de suite tu devrais vite comprendre

Ouff ! si il n'a pas encore vu ln, il est mal barré avec le bac dans ... pas longtemps

C'est une question bizarre que tu poses là Planck,
exponentielle étant strictement croissante sur IR, pour tout a et b dans cet ordre e^a< e^b.
C'est la définition d'une fonction croissante strictement.

enfin je crois

[invite21126052]

on suppose a et b tels que e(a)>=e(b).
Si a<b, alors e(a)<e(b)
donc contradiction avec e(a)>=e(b). du coup, a>=b. c'est ça?

donc j'avais bon avec cette démonstration en fin de compte?!

bon tant qu'à faire un message, encore une petite chose dont je suis à peu près sur, mais bon: pour parler de monotonie, on doit avoir continuité (s'il existe des fonctions croissantes qui n'ont pas de dérivée...) ?

[inviteab2b41c6]

pour parler de monotonie, on doit avoir continuité (s'il existe des fonctions croissantes qui n'ont pas de dérivée...) ?

Salut,
en fait ca n'a aucun rapport, par exemple tu as des suites croissantes, des fonctions croissantes et pas dans R.
La continuité dépend de la topologie et la croissance de l'ordre.
Une propriété est topologique, l'autre est algébrique.

Cependant, une fonction réelle croissante est continue presque partout.
A+

[invite21126052]

oui c'est vrai je n'avais pas pensé aux suites
dans ma tête, je pensais à une fonction du genre x modulo 2 (je crois que c'est extensible aux réels le modulo, non?) enfin une fonction qui à un moment est discontinue et qui revient "plus bas", mais bon du coup elle est pas dérivable...)


en tout cas, merci pour toutes vos réponses!

[inviteab2b41c6]

Salut,
en fait Z/2Z, l'ensemble des entiers modulo 2 n'est pas ordonné.
En fait tu peux l'ordonner facilement c'est vrai, mais je ne sais pas si tu peux trouver un ordre qui conserve les opérations...
Cependant pour définir une fonction croissante ca n'a pas d'importance, donc c'était quand même une bonne idée, bien que dangereuse.
A+

[invite9c9b9968]

Un exemple simple de fonction monotone non continue sur : la fonction partie entière.

[invitee65b1c3d]

Cependant, une fonction réelle croissante est continue presque partout.
A+

Je dirais même plus : une fonction croissante de R dans R est continue partout sauf en un nombre dénombrable de points.
C'est à dire que si f est croissante, il existe une suite u_n telle que si x est différent de tous les u_n alors f est continue en x.

[inviteab2b41c6]

C.B, il me semble qu'on a déjà eu exactement cette discution quelque part...
Ma réponse à cette question et la tienne qui a suivi...
A moins que ce ne soit mathias.
en tout cas, merci de ta remarque.
A+

[invitec314d025]

C.B, il me semble qu'on a déjà eu exactement cette discution quelque part...
Ma réponse à cette question et la tienne qui a suivi...
A moins que ce ne soit mathias.
en tout cas, merci de ta remarque.
A+

Oui, j'ai plus qu'une impression de déjà-vu

[invite9c9b9968]

http://forums.futura-sciences.com/thread32350.html

Vous allez rire : le titre de la discussion a aussi un air de déjà vu