fonction exponentielle
bonsoir tout le monde
j'ai un exo à faire sur les expo mais je coince sur un petit truc!
f(x)=(e^-x)(1-x) definie sur [0;1/2]
en etudiant les variations de la fonction f démontrer pour tt nombre réel x de de[0;1/2],l'encadrement:
1 sup ou egale f(x) inf ou egale 2/racine de e
pour les limites j'ai un petit soucis avec le e^-x
merci pour votre aide
Salut,
exp(-x), c'est simplement 1/exp(x), donc si tu connais les limites de exp, tu connais celles de exp(-x)...
Salut,
ta fonction est définie en 0 et 1/2, donc il n'y a aucun problème: la limite en 0 est f(0) et la limite en 1/2 est f(1/2), simplement.
A+
Pourl'encadrement, tu n'as qu'à calculer la derivée de la fonction sur l'intervalle, et étudier son signe. De là, tu devrais montrer les variations et utiliser le théorème valeurs intermédiaires pour montrer ton encadrement.
Je ne vois pas l'utilité du théorème de la valeur intermédiaire.Envoyé par kron
f croissante donc sur [0;1/2] donc :
En même temps ce que tu cite, je trouve que ça ressemble bigrement au théorème, non ? A voir. Moi j'ai mis que c'était le théorème des valeurs intermédiaires dans mon bac blanc...Je ne vois pas l'utilité du théorème de la valeur intermédiaire.
f croissante donc sur [0;1/2] donc :
Pour moi, le théorème de la valeur intermédiaire est :
f continue sur [a;b]
si
Dans l'exercice on utilise juste la définition de la croissance pour montrer l'encadrement. (croissance non nécessaire pour le théorème de la valeur intermédiaire).
dit autrement :
l'image d'un intervalle par une fonction continue de la variable réelle et à valeurs réelles est encore un intervalle.
Version généralisée :
pour f fonction continue d'un espace topologique E dans un espace topologique F, l'image d'un connexe est un connexe
Et le théorème de la croissance n'est qu'une application des valeurs intermédiaires...Pour moi, le théorème de la valeur intermédiaire est :
f continue sur [a;b]
si
Dans l'exercice on utilise juste la définition de la croissance pour montrer l'encadrement. (croissance non nécessaire pour le théorème de la valeur intermédiaire).
Bon d'accord je suis un peu de mauvaise foi. J'admets que tu avais raison...
D'autant plus que l'utilisation de la croissance ne nécessite pas la continuité de la fonctionEt le théorème de la croissance n'est qu'une application des valeurs intermédiaires...
Bon d'accord je suis un peu de mauvaise foi. J'admets que tu avais raison...
Là je te suis plus... tu peux développer stp ?D'autant plus que l'utilisation de la croissance ne nécessite pas la continuité de la fonction
Le problème du théorème des valeurs intermédaires est qu'il nous dit qu'il existe un x vérifiant un certain encadrement. Or ici, il faut montrer que l'on a un encadrement pour tout x de l'intervalle.
Pour la croissance, ce n'est pas un théorème, c'est la définition de fonction croissante :Et le théorème de la croissance n'est qu'une application des valeurs intermédiaires...
Bon d'accord je suis un peu de mauvaise foi. J'admets que tu avais raison...
Une fonction f est croissante sur un ensemble Y si et seulement si
pour tout x et y éléments de Y, si
Argh arrêtez je vais devoir aller me cacher dans mon trou à souris si vous continuez
Bon je me suis emporté dans mes explications... D'accord.
Mais tout de même, j'aimerais bien comprendre voter histoire de fonction croissantepas continue... si x>y mais que f(x) n'est pas défini ? On fait comment ?
Cependant sur le même thème on peut citer un "théorème" rigolo:
Si f est strictement croissante sur R, alors f est presque partout continue
si f n'est pas définie en x, on ne fait pasArgh arrêtez je vais devoir aller me cacher dans mon trou à souris si vous continuez
Bon je me suis emporté dans mes explications... D'accord.
Mais tout de même, j'aimerais bien comprendre voter histoire de fonction croissantepas continue... si x>y mais que f(x) n'est pas défini ? On fait comment ?
mais elle peut être définie sans être continue.
exemple de fonction croissante définie sur IR mais non continue: partie entière de x (E(x))
tu as bien x > y => E(x) > E(y)
pour rappel:
pour tout x réel, E(x) et l'unique entier tel que E(x) <= x < E(x) + 1
Arf, mais pour le "presque partout", faut déjà connaître la théorie de la mesureCependant sur le même thème on peut citer un "théorème" rigolo:
Si f est strictement croissante sur R, alors f est presque partout continue
Yep d'accord. J'avais aussi pensé à une fonction "escalier". Merci de m'avoir éclairé. Je dois vouer que c'était un peu confus dans ma tête.si f n'est pas définie en x, on ne fait pas
mais elle peut être définie sans être continue.
exemple de fonction croissante définie sur IR mais non continue: partie entière de x (E(x))
tu as bien x > y => E(x) > E(y)
pour rappel:
pour tout x réel, E(x) et l'unique entier tel que E(x) <= x < E(x) + 1
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Cependant sur le même thème on peut citer un "théorème" rigolo:
Si f est strictement croissante sur R, alors f est presque partout continueC'est pourquoi il y a mieux :Arf, mais pour le "presque partout", faut déjà connaître la théorie de la mesure
L'ensemble des points de discontinuité d'une fonction croissante de R dans R est fini ou dénombrable.
Dit de manière plus "intuitive" : une fonction croissante sur R est continue sauf en un nombre de points au plus dénombrable.
NB : Un ensemble est "dénombrable" s'il est en bijection avec N.
Sinon, une fonction croissante non continue n'est pas un objet complexe : c'est une fonction continue sauf en un nombre au plus dénombrables de points tels dans lequel il y a des "sauts".
sur le même thème, et sans la théorie de la mesure :
"une fonction dérivée de R dans R est continue sur un ensemble dense de R"
"l'ensemble des fonctions continues et nulles part dérivables est dense dans l'ensemble des fonctions continues"
@+
julien
