p'tite question

**POPOUCOSAM** · 18/12/2009, 20h02

bonsoir à tous,

Que signifie l' ecriture Z/2Z ou Z/nZ?

merci

**Flyingsquirrel** · 19/12/2009, 12h45

Salut,

Envoyé par POPOUCOSAM

Que signifie l' ecriture Z/2Z ou Z/nZ?

On peut voir $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ) comme l'ensemble $\text{[math]}$ muni de la loi $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ désigne le reste de la division euclidienne de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ . Il se trouve que cette loi est une loi de composition interne et fait de $\text{[math]}$ un groupe.

Par exemple dans $\text{[math]}$ on a

$\text{[math]}$ ;
$\text{[math]}$ ;
$\text{[math]}$ .

Formellement $\text{[math]}$ est un groupe quotient : il s'agit du quotient du groupe $\text{[math]}$ par la relation d'équivalence $\text{[math]}$ définie par « $\text{[math]}$ ».

**POPOUCOSAM** · 19/12/2009, 14h37

Merci beaucoup,

Existe-t-il des groupes quotients avec R, C ou Q?
Quels sont les applications mathématiques de ce genre de groupes?

Cdlt,

**Flyingsquirrel** · 19/12/2009, 17h18

Envoyé par POPOUCOSAM

Existe-t-il des groupes quotients avec R, C ou Q?

Le seul que j'ai en tête est le groupe additif $\text{[math]}$ qui est isomorphe (=correspond) au groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1.

Envoyé par POPOUCOSAM

Quels sont les applications mathématiques de ce genre de groupes?

Pour tout $\text{[math]}$ le groupe $\text{[math]}$ est cyclique c'est-à-dire qu'il est fini et qu'il existe un élément $\text{[math]}$ (en l'occurrence c'est 1) tel que tout élément $\text{[math]}$ s'écrive $\text{[math]}$ (le nombre de termes dans la somme dépend évidemment de $\text{[math]}$ ). Autrement dit, avec un seul élément du groupe on peut générer tous les autres. Comme on sait que chaque groupe cyclique est isomorphe à un certain groupe $\text{[math]}$ , pour comprendre les groupes cycliques il suffit de comprendre $\text{[math]}$ . Plus généralement, on peut montrer que tout groupe commutatif fini peut se décomposer en une somme de groupes cycliques, pour étudier ces groupes il est donc important de connaître $\text{[math]}$ .

Il y a très certainement d'autres d'applications (peut-être plus concrètes que celles-ci

) que je ne connais pas.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**thepasboss** · 19/12/2009, 18h41

Bonsoir,

Sinon avec les quotient par rapport à des relations d'équivalence on peut "construire" l'ensemble des rationnels à partir de ZxZ* et d'une relation d'équivalence bien choisie (à savoir (a,b)R(c,d) <=> ad = bc )

Sinon il me semble qu'on se sert aussi d'une relation d'équivalence pour montrer qu'il existe des ensemble qui ne sont pas mesurable pour la mesure de lebesgues, mais alors là je ne me rappelle plus du détail.

**POPOUCOSAM** · 20/12/2009, 09h46

merci pour ces explications claires et précises,
Cdlt,

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