Médiane ?

[invite0c8d994f]

Bonjour à tous,
Petit exo dont j'aimerais savoir si je me suis pas tromper :
Les points A et B ainsi que la droite D sont fixés.
Quel est le point M de la droite D qui rend minimale la valeur de MA² + MB² ?

On place I milieu de [AB],
MA² + MB² = vecteur(MA)² + vecteur(MB)²
MA² + MB² = (vecteur(MI)+vecteur(IA))² + (vecteur(MI)+vecteur(IB))²
MA² + MB² = MI² + IA² + IB² + 2vecteur(MI) . (vecteur(IA)+vecteur(IB))

Or, I étant le milieu de [AB], IA = IB = 1/2*AB et vecteur(IA) + vecteur(IB) = Vecteur nul ;
Par conséquent
MA² + MB² = 2MI² + 1/2*AB²

Pour une valeur minimal de MI, on a une valeur minimal de MA²+MB², puisque AB est fixe.

Es-ce le résultat attendu à la question de l'exercice ? Es-ce suffisant ?
Toute les données de l'exercice sont données en italique.
-----

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Donc si MI=0 soit si M et I sont confondus, tu as une valeur minimale de MA²+MB² en effet.

De mon côté, j'ai fait de manière analytique, si tu as abordé les dérivées.
J'ai posé les points accompagnés de leurs abscisses suivants : A(a), B(b), M(x).
On a donc I((a+b)/2) mais j'avais envie de dire qu'on aurait pu s'en passer
J'ai posé f(x) = MA²+MB² = ...
J'ai dérivé f(x) et calculé sa valeur annulatrice et trouvé la valeur peu surprenante de... (a+b)/2...
Tiens tiens !
Il te reste à montrer rapidement que la valeur annulatrice correspond bien à un minimum et pas à un maximum

Duke.

[Flyingsquirrel]

Duke, je crois que tu simplifies le problème. L'énoncé ne précise pas que et sont sur la droite .

[Duke Alchemist]

Ah ouais...
Au temps pour moi !
Je me disais bien aussi que c'était trop facile

tof06

EDIT : Félicitations pour ton nouvel habit vert Flyingsquirrel

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0c8d994f]

Sauf que MI ne prendra jamais la valeur nul d'après le schéma de mon exo. Mais sinon c'est bien çà ? Il faut placer un point I milieu de AB, et montrer que MA² +MB² déepend de la longueur de MI ?

[Flyingsquirrel]

EDIT : Félicitations pour ton nouvel habit vert Flyingsquirrel

Merci.

Il faut placer un point I milieu de AB, et montrer que MA² +MB² déepend de la longueur de MI ?

Oui mais l'exercice n'est pas fini. Il reste à trouver pour quelle position de la longueur est minimale.

[ansset]

............
Par conséquent
MA² + MB² = 2MI² + 1/2*AB²

Pour une valeur minimal de MI, on a une valeur minimal de MA²+MB², puisque AB est fixe.

Es-ce le résultat attendu à la question de l'exercice ? Es-ce suffisant ?
Toute les données de l'exercice sont données en italique.

ben presque,
tu as fait le plus dur.
mais tu peux "decrire" ou doit se trouver M.
la question étant devenue :
soit I un point quelque part dans le plan et D une droite, ou doit se trouver M sur la droite pour avoir MI² minimum.

[invite0c8d994f]

Qu'es-ce que je peux dire de plus ? je ne connais rien, j'ai juste un schéma avec le triangle ABM, La doite D passant par M, et j'ai placer un point I milieu de AB, je ne connais aucune valeur, pas de coordonnées de point, rien. Comment en donné plus ?

[ansset]

quelle est la plus petite distance entre un point et une droite ?

[invite0c8d994f]

quelle est la plus petite distance entre un point et une droite ?

??? Je comprend pas ?

[ansset]

??? Je comprend pas ?

oublie une seconde ton triangle.
ton equation est juste, donc il faut MI² minimum.

tu ne crois pas que c'est quand MI et ta droite sont perpendiculaire ?
sinon , on peut aussi le prouver par les maths, en imaginant un autre point C fixe sur la droite.

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

C'est la définition même de la distance d'un point à une droite.

Duke.

[invite0c8d994f]

re ..
Désolé de cette réponse tardive.

Les notions abordés dans la définition me sont encore inconnus. Je dois m'arrêter là alors ?

[God's Breath]

Je dois m'arrêter là alors ?

Non, tu dois prouver que le point M est la projection orthogonale de I sur D.
Pour tout autre point M' de D, le théorème de Pythagore dans le triangle IMM' rectangle en M permet de prouver que M'I>MI.

[invite0c8d994f]

Bien vu :P
Prouver le projeté orthogonal !?? je peux pas juste le supposer ? et ensuite démontrer par Pythagore que c'est la distance la plus courte ?